Kontrakty terminowe - wycena ============================ Kontrakty terminowe ------------------- Kontrakt terminowy to kontrakt zawarty dziś na dostawę dobra w przyszłości za ceną ustaloną dziś, płatną w przyszłości. Innymi słowy, kontrakt taki **zobowiązuje** sprzedającego do sprzedaży a kupującego do kupna **Określonego Aktywa za Określoną Cenę w Określonym Czasie**. Tego typu kontrakty to kontrakty forward i futures. Kontrakt forward to zazwyczaj kontrakt OTC zawarty miedzy dwoma stronami oddający specyfikę oczekiwań tychże stron w stosunku do tego kontraktu. Tak wiec taki kontrakt jest dość unikalny i raczej trudny do przeniesienia na innego kontrahenta, którego sytuacja jest najczęściej inna niż stron, które ten kontrakt zawarły. Kontrakt forward jest z natury swojej, kontraktem mało płynnym. Kontrakt futures to kontrakt terminowy, wystandaryzowany pod względem jakości tego co jest dostarczane, ilości i daty dostawy. Standaryzacja kontrakty futures polega na zdefiniowaniu: * "Podstawowego" towaru lub instrumentu. To może być zarówno, np. miedź czy ropa naftowa jak i krótkoterminowa stopa procentowa. * Sposób rozliczenia kontraktu, rozliczenie pieniężne lub dostawa fizyczna. * "Ilości" jednostek podstawowego towaru przypadającej na jeden kontrakt. Może to być przykładowo ilość ton miedzi, ilość baryłek ropy, czy jednostek obcej waluty. * Waluty, w której kontrakt jest kwotowany. * Specyfikacji, jakości dostawy. W przypadku obligacji określenie, które obligacje mają być dostarczone. W przypadku dostawy fizycznej towaru, dotyczy to nie tylko jego jakości, ale i sposobu i miejsca dostawy. * Miesiąca dostawy. * Ostatniej daty, w której kontrakt może być handlowany. Kontrakt futures jest handlowany na rynku giełdowym i jest raczej kontraktem płynnym (o ile giełda handluje i nie jest zamknięta). Kontrakty terminowe maja swoja długą historie na rynku finansowym. Powstały z potrzeby zapewnienia sobie znanych cen na produkty rolne. Pewne zapiski historyczne wskazują na możliwość istnienia handlowania ryżem z przyszłych zbiorów 6000 lat temu w Chinach. W zapiskach Arystotelesa można znaleźć wzmiankę o Talesie z Miletu, który w oparciu o swą wiedzę oszacował przyszłe zbiory oliwek i zawarł na długo przed zbiorami kontrakty na oliwki po cenie określonej w dniu zawarcia transakcji. Jak mówią owe notatki, ponieważ było bardzo daleko do zbiorów ceny na te "przyszłe " oliwki były nie wysokie i gdy nastały zbiory, Tales chyba nieźle na tej transakcji zarobił. Pierwsza w historii giełda futures to giełda ryżu Dojima w Japonii powstała w 1730 roku. Rynek ten powstał, aby uwzględnić sezonowość produkcji rolnej. Kontrakty tego rodzaju są bardzo naturalne i każdy kto ma do czynienia z powtarzającym się zapotrzebowaniem na określone dobra wie, że ich wahające się ceny często niepokoją i koniecznym jest ustalenie sobie ceny transakcji w przyszłości aby móc planować rozsądnie finansowanie działalności. Tak wiec producenci surowców (surowce kopalne), rolnicy jak i Ci, którzy przetwarzają surowce w bardziej skomplikowane produkty ( Przetwórcy) potrzebują tego rynku aby "ustalać" ceny w przyszłości. Rynek terminowy to rynek którym rządzi prawo podaży i popytu, tak samo jak na rynku transakcji natychmiastowych ( zwanego rynkiem kasowym lub spot). Czyli im więcej będzie potrzeba surowca w przyszłości przy niezmiennej podaży, tym wyższa będzie cena na ten surowiec. Cena na dostawę ustalana jest jako cena równowagi na dany towar. Jednak istnieją związki rynku terminowego z rynkiem dostaw fizycznych (rynek -natychmiastowy). Związek ten jest intuicyjnie oczywisty. Ceny na rynku fizycznym dobra i ceny tego dobra na rynku terminowym są z sobą związane. Kontrakt futures jest przecież instrumentem pochodnym i cena jego zależy od ceny dobra podstawowego. Szczególnie widać ten związek w dniu dostawy kontraktu terminowego. W dniu dostawy dobra na którym oparty jest kontrakt futures i ceny tego dobra na rynku transakcji fizycznych ( spot) są sobie równe. Bowiem oba rynki w ten dzień dostarczają to samo dobro. Przed datą dostawy ceny kontraktów terminowych mogą być wyższe lub niższe od ceny na rynku spot. Różnica cen miedzy rynkami nazywana jest bazą. .. math:: \mathrm{Baza} = \mathrm{cena futures} - \mathrm{cena spot} .. note:: Niektórzy autorzy definiują bazę jako różnicę miedzy ceną spot a ceną futures. Jeśli cena futures jest wyższa niż cena spot, baza jest dodatnia. Ceny futures w tym przypadku maleją w kierunku ceny spot, do dnia dostawy, gdy baza staje się równa zero. Sytuacja taka nazywana jest **contango**. Jeśli cena futures jest niższa niż cena spot, baza jest ujemna. W tym przypadku cena futures rośnie w czasie by w dniu dostawy zrównać się z ceną spot. Sytuacja taka nazywa się **backwardation** ( M.D. Fitzgerald- „Financial Futures”- Euromoney Books 1993) .. caution:: P. Saługa,Z. Grudziński-Polityka Energetyczna. Tom 12 Zeszyt 2/2 str.525-540. rok 2009 używają na określenie contango i backwardation nazw reportu i deportu. Jednak uczestnicy rynku terminowego używają nazw angielskich. Powyższe komentarze dotyczące contango i backwardation będą pomocne gdy pojawi się pytanie o cenę godziwą kontraktu terminowego. Rynek kontraktów futures, podobieństwa i różnice ------------------------------------------------ Cena kontraktów na rynku futures podlega wahaniom zależnym od punktu równowagi miedzy podażą a popytem w każdej chwili funkcjonowania rynku. Równowaga ta wyznaczana jest przez oczekiwania kupujących i sprzedających. Głównymi uczestnikami rynku futures są: * Producenci albo nabywcy surowców (commodities) handlowanych na giełdzie futures. Ta kategoria uczestników zwana jest "Hedgers" albowiem ich celem jest zabezpieczenie się przed ryzykiem zmiany cen. * Speculators - to grupa uczestników rynku, podobnie jak to ma miejsce na innych rynkach, to inwestorzy, którzy chcą zarobić na zmianie w przyszłości cen kontraktów, które nabyli. Ta grupa nadaje rynkowi płynność. Istotną cechą rynku terminowego futures jest wypełnienie kontraktu, które może mieć formę dostawy albo rozliczenia gotówkowego kontraktu. Ma ono miejsce wtedy gdy kontrakt nie zostanie zlikwidowany ( poprzez zawarcie kontraktu przeciwnego) wcześniej, przed dniem dostawy. Proces ten jest zwykle szczegółowo opisany w regulaminie giełdy składa się z sekwencji działań jakie należy podjąć określonym porządku. Istotną rolę odgrywa Izba Rozliczeniowa, instytucja obsługująca transakcje giełdowe. Izby Rozliczeniowe jako, że są stroną każdego kontraktu są również włączone w ten proces. Generalnie Izba czuwa by strona „short” transakcji dostarczyła stronie „long” godziwe dobro z rynku fizycznego. Czasem rozliczenie może być robione w formie rozliczenia pieniężnego. Jeśli na rynku fizycznym są różne dobra spełniające specyfikę kontraktu dostarczający ( short) ma prawo wybrać to, które jest „ najtańsze do dostarczenia” ( cheapest to deliver). Przykładowo ma to miejsce gdy rozliczenie wymaga dostarczenia portfela obligacji o określonym terminie do zapadalności. Takich obligacji na rynku może być bardzo wiele ale dostarczający ma prawo wybrać portfel takich, które dają największą implikowana stopę repo dla strony short z transakcji „ cost- of carry” tzn. strategii zakupu obligacji( za pożyczone środki)na rynku kasowym i sprzedanie ich na rynku futures. D.Blake- Financial Market Analysis- Mc Graw- Hill company1990). Implikowana stopa repo to rentowność z transakcji repo dla odstępu czasu od chwili aktualnej(bieżącej) do terminu realizacji kontraktu.- przyp. autorów Zasady zawierania kontraktów futures w obrocie rynkowym przypominają zasady obrotu instrumentami podstawowymi na rynku giełdowym.Różnicą w tych, podobnych zasadach jest istnienie depozytu zabezpieczającego ( margin), wymaganego od obu stron transakcji chwili jej zawarcia. Ponieważ ceny na rynku danego aktywa zmieniają się ustawicznie, zawarta transakcja może zmieniać swą atrakcyjność dla stron jakie je zawarły. Depozyt zabezpieczający ma za zadanie zmniejszenie ryzyka kredytowego stron zawierających transakcje. Innymi słowy jeśli ruch cen zmniejsza atrakcyjność zawartej transakcji dla jednej ze stron, to strona ta musi zwiększyć swój depozyt zabezpieczający. Jest to akt pokazania chęci wywiązania się z transakcji w przyszłości. Wielkość depozytu jest codziennie wyceniana do rynku “mark to market”, aby odzwierciedlać zmiany w wartości zajętej pozycji. Wielkość ta jest ustalana dla każdego towaru (commodity) osobno. Wielkość depozytu do kontraktu jest względnie niewielka i jest równa maksymalnej dziennej fluktuacji ceny i przeliczana jest na całkowitą wielkość transakcji. Wymagany poziomu depozytu to jest wielkość depozytu, która musi być utrzymana na rachunku inwestycyjnym uczestnika rynku terminowego futures. Wielkość ta ulega zmianom zależnym od ruchu ceny rynkowej kontraktu. Jeśli stan depozytu jest niższy od wielkości wymaganej, dodatkowe środki musza zostać przelane na rachunek inwestycyjny (maintenance margin) tak by spełnić wymogi depozytu zabezpieczającego. Jeśli stan środków na koncie przewyższa wymagana wielkość depozytu, nadmiar środków może być umorzony, albo użyty do otwarcia nowej pozycji. Jak wpływa zmiana ceny aktywa na sytuacje stron transakcji futures ilustruje tabela poniższa: +----------+----------+-----------+ | |Kupujący |Sprzedający| | | | | +----------+----------+-----------+ |Cena |Może |Musi | |rośnie |umorzyć |dopłacić do| | |nadmiarową|depozytu | | |kwotę | | +----------+----------+-----------+ |Cena spada|Musi |Może | | |dopłacić |umorzyć | | |do |nadmiarową | | |depozytu |kwotę | +----------+----------+-----------+ Wycena kontraktów futures --------------------------- Wycena godziwa kontraktów futures. Ceny kontraktów futures zależą od równowagi miedzy podażą a popytem ale mimo tego „ przypadkowego” tła pochodzenia ceny można określić wartość godziwą, cenę godziwą kontraktu futures. Jeśli na rynku nie ma niepewności, wycena godziwa kontraktu futures ( forward) opiera się na następującym sposobie myślenia. Zakładany jest brak kosztów transakcji oraz brak ograniczeń wyobraźni oraz brak gotówki. Inwestor obserwując rynek transakcji spot i futures zauważył, że są dwa sposoby skorzystania z tych rynków aby osiągnąć zysk. 1. Korzysta z własności rynku futures ( i upływającego czasu) i sprzedaje kontrakt futures na dostawę aktywa w określonym terminie (nie jest wymagane posiadanie aktywa, które ma się dostarczyć w przyszłości- inaczej „krótka sprzedaż”). W dniu dostawy, szybko pożycza pieniądze w kwocie wartości kontraktu, kupuje aktywo na rynku spot, dostarcza kupcowi futures, inkasuje pieniądze za kontrakt. Oddaje pożyczoną kwotę ( odsetki wynoszą zero bo oddaje w ten sam dzień co pożyczył). Jego ewentualny zysk to różnica miedzy ceną kontraktu futures w dniu sprzedaży a ceną aktywa na rynku spot w dniu dostawy. 2. Ponieważ nie posiada gotówki w dniu „ zero” pożycza pieniądze w kwocie równej cenie aktywa na rynku spot. Kupuje aktywa na rynku kasowym. Nie lubiąc ryzyka sprzedaje kontrakt futures na datę dostawy i już wie jaką cenę uzyska za aktywo w dniu dostawy. Jego zysk to różnica miedzy ceną kontraktu spot a ceną kontraktu futures pomniejszona o wartość odsetek od pożyczonych pieniędzy na kupno początkowego kontraktu. Dla lepszego zrozumienia załóżmy, że okres czasu między dniem pierwszej transakcji a czasem dostawy wynosi T lat. To pozwoli na wyliczenie odsetek od kredytu. Czytelnik z wyobraźnia widzi już siebie jak korzystając z powyższej podpowiedzi kupił np. 1000 baryłek ropy (wielkość kontaktu futures) i trzyma je T lat np. w ogrodzie czy na balkonie. Oczywiście przechowywanie fizycznego aktywa kosztuje i koszty przechowywania należy ująć w kalkulacji ceny godziwej. Tak więc na początku w obu przypadkach ilość pieniądza na starcie wynosi zero. Zysk z tej pierwszej inwestycji wynosi .. math:: P_1=P_f - P_s(T), gdzie: - :math:`P_f` - aktualna cena na rynku futures - :math:`P_s(T)` - cena spot w roku :math:`T`. Jasnym jest, że w świecie całkowitej pewności :math:`P_f=P_s(T)`, czyli, że ceny futures muszą być równe aktualnej przyszłej cenie rynku spot. Należy w tym miejscu przypomnieć sobie to co było mówione o zachowaniu przyszłych kursów wymiany w stosunku do dzisiejszych kursów wymiany, w skrypcie "Wprowadzenie do funkcjonowania rynków finansowych" (`link `_) a szczególnie o konwergencji cen na rynkach futures i spot. Tak więc zysk z takiej transakcji będzie równy zero. Należy zauważyć, że z powodu pełnej pewności nie ma potrzeby pobierania „initial margin” czyli depozytu zabezpieczającego ani depozyt ten nie będzie się zmieniał. Czyli w strategii 1 nie wystąpią żadne wypływy pieniężne ani wpływy w czasie życia inwestycji. Również koszty przechowywania nie występują w kontrakcie futures i całe koszty są związane z transakcją na rynku kasowym i nie wystąpią do końca okresu. W przypadku strategii 2 sytuacja jest bardziej skomplikowana, mimo, że podobnie jak w 1 na początku nie ma przepływu pieniądza. Jeśli na zakup fizycznego zakupu aktywa potrzebne jest wzięcie kredytu o stopie r, to koszt tego kredytu będzie obniżał końcowy zysk. Ten zysk jest również obniżony o koszty przechowywania aktywa przez omawiany okres czasu. Koszty przechowywania (jeśli wystąpią) są z reguły jakimś procentem od ceny spot aktywa. Zazwyczaj bardzo małym procentem. Widać, że działają podobnie jak oprocentowanie pożyczki. Przyjmijmy dla prostoty, że r to sumaryczna stopa kredytu i składowania. To uproszczenie jest o tyle uzasadnione, że koszty składowania występują tylko w przypadku surowców (i w tym przypadku należy uwzględniać, że r jest równe sumie obu stóp) albo w przypadku olbrzymiej ilości kontraktów kosztów tych nie ma i r jest tylko oprocentowaniem kredytu. Należy jeszcze wspomnieć o jeszcze innym aspekcie posiadania fizycznego aktywa. Czasem w przypadku pewnych aktywów w trakcie ich posiadania mogą pojawić się pewne beneficja. Jeśli przykładowo posiadamy fizyczna benzynę możemy ją zatankować gdy na stacjach jej braknie, jeśli posiadamy fizyczny portfel akcji możemy otrzymać dywidendę należną posiadaczom akcji. Posiadacze fizycznego złota w czasie zawieruchy dziejowej czują swą przewagę nad posiadaczami kontraktu na dostawę tegoż w terminie późniejszym. Jest to dodatkowy zwrot z posiadania aktywa, z reguły jest to pewien procent ceny kasowej aktywa. Tak więc zysk, z transakcji 2 wynosi: .. math:: P_2 = P_s(T)- P_s(1+rT) + d P_s T = P_s(T)- P_s-(r-d)P_sT, gdzie: - :math:`P_s` - aktualna cena spot (kasowa) - :math:`P_s(T)` - cena spot w roku :math:`T` - :math:`r` - roczny koszty przechowywania (carry costs), włączając koszty oprocentowania pożyczki) - :math:`d` - roczny zwrot z posiadania aktywa. W ostatnim wzorze został użyty procent prosty a nie procent składany. Jeśli by użyć procentu składanego wtedy należałoby użyć formuły :math:`(1+r)^T` a koszty przechowywania na rynku kasowym byłyby proporcjonalne do ceny. "Cost -of carry" są równe przychodom pomniejszonym o wydatki czyli :math:`(r-d)` i mogą być, jak wiemy ujemne albo dodatnie. Obie strategie dają ten sam wynik czyli sprzedaż aktywa w roku :math:`T`. Obydwie nie wymagają zaangażowania czyjegoś kapitału i obie wolne są od ryzyka. Dwie identyczne strategie nie zużywające kapitału, odbywające się bez ryzyka (takie dwie transakcje zwane są arbitrażem) w warunkach równowagi powinny generować ten sam zysk, a zysk ten powinien być równy zero. Jeśli wiemy, że strategia 2 generuje zysk zero to strategia 1 tez powinna generować zysk równy zero. Porównując te równania można wyliczyć cenę godziwa kontraktu futures :math:`Pf_o` .. math:: Pf_o={1+(r-d)T}Ps = Ps+(r-d)PsT Czyli godziwa cena futures jest równa aktualnej cenie spot + „cost-of- Carry” - kosztom przechowywania. Biorąc pod uwagę definicję bazy i wstawiając ja do ostatniego równania widzimy, ze cost-of-carry jest równy bazie. .. math:: \mathrm{baza}= Pf_o- P_s+(r-d)P_s(T)= \mathrm{cost-of-carry} Baza jest dodatnia (contango) jeśli koszty przechowywania są dodatnie i jest ujemna (backwardation) jeśli koszty przechowywania są ujemne. Podobne równaniami zachodzą miedzy cenami kontraktów futures na różne terminy dostawy: .. math:: Pf_2=Pf_1+(r-d)Pf_1(T_2-T_1) Gdzie: - :math:`Pf_1` - aktualna cene kontraktu futures z terminem dostawy :math:`T_1` - :math:`Pf_2` - aktualna cena kontraktu futures z terminem dostawy :math:`T_2( T_1Pf_1` (contango) a jeśli te wielkości są ujemne to :math:`Pf_2`_ Ma jednak w tym miejscu cel wykazania, że przyjęta i omawiana powyżej zasada wyceny kontraktów futures można też zastosować w pokazany poniżej sposób. Załóżmy, ze jesteśmy już w strefie EURO i celem jest pozyskanie USD w terminie za rok. Podobnie jak to było omawiane przy wycenie kontraktu forward na kurs wymiany inwestor ma do wybory dwa postępowania. Albo potrzebną kwotę dolarów otrzymujemy dzisiaj kupując dolary za euro i lokujemy je na depozycie dolarowym na rok. Albo, kwotę w euro deponujemy na depozycie euro na rok i za rok dokonujemy wymiany na dolary. Zakładając brak arbitrażu kwoty na depozytach po roku powinny być równoważne. Założenie jest w pełni uzasadnione co wykazano w rozdziale o kursach walutowych ( hipoteza oczekiwania w przypadku stóp procentowych). Innymi słowy, są dwie możliwe strategie. Kupić dziś kontrakt terminowy. Kupno kontraktu terminowego za cenę Pf oznacza, że za rok od dziś posiadacz kontraktu zamieni Pf euro na jednego dolara. Druga strategia polega na tym, że pożyczamy Euro na początku okresu po stopie re, wymieniamy je na dolary po cenie spot i inwestujemy na rynku depozytów dolarowych przy stopie rd. Pod koniec roku z dochodów dolarowych spłacamy zadłużenie w euro. Każdy z depozytów w ciągu roku przyrósł :math:`1+r` razy. Czyli depozyt euro przyrósł :math:`1+r_e` razy a depozyt dolarowy :math:`1+r_d` razy. Łatwo wykazać, że: .. math:: ( \frac{1+r_e}{1+r_d})P_s = P_f, gdzie: - :math:`r_d` - stopa oprocentowania dolarowego - :math:`r_e` - stopa oprocentowania euro - :math:`P_s` - cena spot wymiany - :math:`P_f` - cena futures Po odpowiednim przekształceniu i odrzuceniu nieznaczących wyrazów wyższych rzędów, otrzymać można znajomo wyglądający wzór. .. math:: Pf_o+ P_s+(r_e-r_d)P_s Czyli ponownie widać, że cena futures jest równa cenie spot powiększonej o „cost-of-carry, czyli różnicy stóp procentowych rynku euro i rynku dolarowego Ten wzór można przekształcić do bardziej przydatnej formy: .. math:: \frac{Pf_o - P_s}{P_s}=r_e-r_d Jest to tzw. Równanie parytetu stop procentowych. Mówi ono, że wzrost terminowego kurs wymiany jest równy różnicy stóp procentowych rynków walut wymienianych. Innymi słowy równanie pozwala oceniać jak rynek terminowy ocenia aprecjację jednej waluty względem drugiej. Przykład 3. Cena godziwa futures na akcje lub indeks rynku akcji. Cenę na kontrakt futures na akcje można obliczyć w następujący sposób. Zakładamy istnienie uproszczenia - kontrakt futures na 1 rok i trzymamy jest do terminu dostawy. Strategia1. Na początku roku kupujemy odpowiednią dla warunku kontraktu ilość akcji. Na koniec roku sprzedajemy. To co zyskujemy to różnica cen akcji i dywidenda wypłacona w czasie roku. Czyli .. math:: \mathrm{Zwrot}_1= (Ps_1-Ps)+dPs, gdzie - :math:`Ps`- cena akcji na początku roku - :math:`PS_1` cena akcji na końcu roku - :math:`d` - dywidenda ( liczona jako procent ceny akcji) Strategia2. Kupujemy kontrakt futures na akcje. Dodatkowo, kwota równa cenie odpowiedniej do warunków kontraktu ilości akcji zostaje zainwestowana na rynku pieniężnym na okres roku. Zysk z tych transakcji to oprocentowanie uzyskane na rynku pieniężnym, minus cena kontraktu futures plus różnica miedzy ceną akcji na końcu roku i na początku roku( to co daje kontrakt futures). Czyli .. math:: \mathrm{Zwrot}_2= (Ps_1-Pf)+(1+r)Ps- Ps, gdzie :math:`r` - stopa procentowa oprocentowani na rynku pieniężnym a inne oznaczenia jak wyżej. Obie strategie powinny odbywają się w tych samych warunkach ryzyka i są tak samo wyceniane wiec wynik muszą przynieść identyczny. Jeśli tak, to równając zyski z sobą otrzymujemy. .. math:: Pf_o = Ps = (r-d)Ps Czyli znów cena futures równa się cenie spot plus “cost-of-carry”. Proszę zauważyć, że robienie depozytu obrazuje w praktyce kredytowanie całej transakcji na rynku pieniężnym i jest kosztem inwestycji. Jeśli transakcje przeprowadzamy na okres krótszy niż rok to wzór ten należy zapisać w poniższej formie: .. math:: Pf_o=Ps+(r-d) \frac{n}{360}Ps, gdzie :math:`n` to liczba dni w których trwa inwestycja a pozostałe oznaczenia jak wyżej. Rok obrachunkowy jest 360 dniowy. Przykład 3a. Cena futures na indeks rynku akcji. Rozumowanie przebiega tak samo jak w przypadku akcji. Tylko, że cena zakupu indeksu to cena zakupu takiej ilości akcji i z taką wagą jak opisane jest w indeksie i zasadach kontraktu futures. Skoro rozumowanie jest takie samo więc cena kontaktu futures na indeks wynosi: .. math:: Pf_o = Ps = (r-d)Ps, gdzie:\ - :math:`Ps` - Cena, tzn, wartość kasowa akcji wchodzących w skład indeksu, na początku roku - :math:`Pf_o` - cena kontraktu futures - :math:`r` - stopa procentowa rynku pieniężnego. - :math:`d` - współczynnik dywidendy (czyli dywidenda do ceny akcji). Jeśli inwestycja dotyczy inne okresu niż równo jeden rok to wzór na cene godziwą kontraktu futures wynosi: .. math:: Pf_o=Ps+(r-d) \frac{n}{360}Ps, gdzie :math:`n` to liczba dni w których trwa inwestycja a pozostałe oznaczenia są jak wyżej. **Kapitalizacja ciągła a wycena kontraktów terminowych** Dotychczas omawiając efekt stopy procentowej używany był model kapitalizacji dyskretnej, czyli typowego procentu składanego. W analizie finansowej często wykorzystuje się logarytmiczną stopę zwrotu albo inaczej kapitalizacje ciągłą, co jest uzasadnione własnościami statystycznymi. Kapitalizacja ciągła jest uzasadniona dodatkowo tym, że w przeciwieństwie do zwykłych stóp, stopy logarytmiczne maja charakter addytywny, co pozwala na wykorzystywani rozkładu normalnego (Agnieszka Pasztyła. „Badania dochodu i ryzyka inwestycji za pomocą analizy rozkładów”. ``_). .. admonition:: Przykład Jaka stopa ciągłego naliczanie jest równoważna dla stopy miesięcznej kapitalizacji 15%? .. math:: e^R = (1+0.15/12)12 Rozwiązując ze względu na :math:`R` otrzymujemy: :math:`R =14,91\%`. Kapitalizacja ciągła jest jak widać dobrym przybliżeniem i stosowana jest przez wiele systemów informacji rynkowej. Czyli cena kontraktu futures :math:`Pf_o` dla aktywa nie generującego kosztów składowania ani dochodu z tytułu posiadania przy kapitalizacji ciągłej, wynosi: .. math:: Pf_o=Ps e^{rT} Jest to przykładowo słuszne dla złota. Jeśli aktywo generuje przychód w pieniądzu to przy braku kosztów składowania cena godziwa kontaktu, przy ciągłej kapitalizacji wycenia się : .. math:: F_0 = (S_0 - I )e^{rT}, gdzie :math:`I` to wartość bieżąca przychodu. Jeśli aktywa generują znaną rentowność q to cena kontraktu futures, dla kapitalizacji ciągłej wynosi: .. math:: F_0 = S_0 e^{(r-q)T}, gdzie: - :math:`q` - rentowność aktywa - :math:`r` - stopa procentowa - :math:`T` - czas do dostawy. Cena kontraktu futures dla aktywów generujących koszty składowania. Analogicznie jeśli występują koszty składowania i wynoszą d jako procent od wartości to cena kontraktu wyniesie: .. math:: Pf_o = Ps e^{(r+d)T}, Albo inaczej :math:`\ Pf_o=(Ps +D)e^{rT}`, gdzie :math:`D` to wartość aktualna kosztów składowania. Kontrakt futures na waluty- kapitalizacja ciągła. Cena kontraktu wyniesie .. math:: Pf_o=Ps e^{(r- r_j)T}, gdzie - :math:`r` - stopa wolna od ryzyka rodzimej waluty - :math:`r_j` stopa wolna od ryzyka waluty obcej, - :math:`T` czas do dostawy. **Strategia arbitrażu** Strategia arbitrażu (jeśli taki istnieje) przykład dla wyceny ciągłej a dla sytuacji na rynkach nie zachodzi równość cen. Sytuacja wygląda następująco: Jeśli .. math:: Pf_o0 Warto zastanowić się, co stanie sie na rynku z cenami jeśli wielu inwestorów zastosuje taką strategię?? :math:`Ps` powinno maleć a :math:`Pf` wzrastać. I co wtedy z naszym arbitrażem?