5. Czas i pieniądz

Finanse to wiedza pozwalająca jej posiadaczowi na efektywną alokacje posiadanych zasobów. Przyjmuje się najczęściej, że miarą efektywności alokacji jest wzrost wartości. Podstawą decyzji o właściwej alokacji jest ocena aktywów będących do dyspozycji.

5.1. Aktywo, jego wartość, wycena

Aktywo to ta cześć zasobów, która generuje strumień przepływów pieniężnych. Aktywo posiada charakterystyczną cechę, którą jest jego wartość. Wartość aktywa określa rynek.

Najczęściej ta wycena odbywa się metodą aukcji, gdzie aktywo zyskuje ten, który ofiaruje za niego najwyższą cenę czyli ustala jego najwyższą wartość. Oszacowaniu wartości aktywów zanim poddane zostaną testowi aukcji rynkowej służy matematyka. Matematyka pozwala na porównywanie wartości oraz na przewidywanie ich prawdopodobnej wartości rynkowej dzięki oferowaniu pewnych zasad i modeli przydatnych do wyceny. Matematyczne wyrafinowanie metod i modeli wyceny wzrasta bardzo szybko. Komputery ułatwiają przeprowadzanie skomplikowanych obliczeń, niemniej jednak głębokie zrozumienie matematycznych reguł rządzących finansami jest podstawą tej dziedziny wiedzy. Zdrowy rozsadek nadal obowiązuje i koniecznym jest głębokie rozumienie tego, co się liczy i dlaczego.

Wartość aktywów mierzona jest najczęściej wartością pieniądza. Używając pieniądza do wyceny odkryć można szereg jego specyficznych cech, o których będzie poniżej.

Pierwsza uwaga dotyczy praktycznego spostrzeżenia, że poszukując danych finansowych np. ceny, w różnych źródłach znajduje się szeregi ( najczęściej czasowe) danych ceny. Jeśli dokonuje się porównywania tych danych należy mieć pewność, że mamy do czynienia z tą samą wielkością oraz że wielkości te występującą w tych samych jednostkach miary. Jeśli jednostki są różne wprowadzić należy właściwe przeliczniki jednostki tak by porównywać to samo a nie przykładowo mile i kilometry w przypadku porównywania odległości. Ceny w finansach wyrażane są nie tylko w różnych walutach ale i w różnych sposobach oddzielania wartości mniejszych od jedności i wartości oddzielania tysięcy.

Na pytanie co wolimy otrzymać: pewną kwotę pieniężną dzisiaj czy za jakiś czas odpowiadamy, że wolimy otrzymać tę kwotę dziś. Posiadanie kwoty dziś jest dla nas lepsze niż otrzymanie jej kiedyś w przyszłości. Można wiec powiedzieć, że pieniądz dzisiaj ma dla nas większą wartość niż ten sam pieniądz w przyszłości. Posiadając pieniądz możemy nim rozporządzać. Możemy kupić coś teraz lub przeznaczyć je na inny cel. Jeśli udostępnimy nasze pieniądze innym to odczuwamy dyskomfort braku kontroli nad nimi, poczucie ryzyka ich utraty. Za ten dyskomfort spodziewamy się od pożyczającego jakiejś nagrody. Nagroda powinna być zależna od czasu na jaki je pożyczamy. Ilość dni jaki upływa między każdorazowym transferem pieniądza jest istotnym elementem w finansach.

Pieniądz dzisiaj ma dla nas większą wartość niż ten sam pieniądz w przyszłości. Jest to odczucie oparte o doświadczenie. Wartość pieniądza zmienia się w czasie. Matematyczne zasady zmiany wartości pieniądza w czasie opierają się na założeniu, że za udostępnienie pieniędzy komuś, kto potrafi je lepiej zagospodarować należy się pożyczającemu nagroda w postaci jakiejś części ich wartości. Jest kilka powodów takiego myślenia. Pierwszy z powodów to inflacja. Często obserwuje się wzrost cen w czasie. Nagroda wspomniana powinna rekompensować zmianę tego poziomu cen. Drugi powód to ryzyko tego, że pożyczkobiorca nie zwróci pożyczonej sumy. Nagroda powinna rekompensować ryzyko niespłacenia długu. Trzeci powód to utrata możliwości swobodnej decyzji alokacji. Pożyczając pieniądze nie możemy zrealizować wspaniałych możliwości jakie mogą się pojawić czasie gdy nie mamy pieniędzy we własnej gestii i czekamy na ich zwrot. Nagroda wspomniana ma za zadanie rekompensować wszelkie, możliwe, stracone możliwości. Nawet jeśli dwa pierwsze powody nie występują, trzeci - wpływa na zmianę wartości pieniądza w czasie. To że pieniądz ma różna wartość w czasie powoduje konieczność szczególnej ostrożności w porównywaniu kwot cyfrowych.

5.2. Linia czasu i strumienie finansowe.

Pomocna w obliczeniach matematyki finansowej jest linia czasu. Jest to odcinek prostej łaczący chwilę aktualną (0) z punktem w przyszłości lub przeszłości. Odcinek ten dzielony jest zazwyczaj na mniejsze odcinki obrazujace okresy naliczania odsetek. Na lini czasu nanosi się strzałki pionowe ilustrujące strumienie pieniężne opisywanej operacji korzystając z następującej konwencji: wpływ gotówki to strumień dodatni a wypływ gotówki to strumień ujemny. Linia czasu ilustrujaca przepływy pieniężne to prosta podzielona na odcinki okresów (nad osią kolejne numery okresów), na dole lini, lub na górze - kolejne przepływy( zaleznie od znaku). Ilustracja poniżej pokazuje przykład lini czasu.

przykład

Aktywo możemy przedstawić na osi czasowej jako pewien zbiór przepływów generowanych przez to aktywo. Strumienie pieniężne mogą mieć znak plus lub minus. W zależności od tego czy wpływają na wzrost stanu posiadania gotówki (+) czy też go zmniejszają będąc wpłatą na „obce” konto(-). Oś czasowa pozwala na ilustracje efektu wpływu czasu na wartość pieniężną. Posuwanie się po wartościach pieniądza w kierunku przyszłości czyli liczenie wartości przyszłej to kapitalizacja. Liczenie w kierunku przeszłości to dyskontowanie. Dokonując obliczeń uwzględniających czas należy stosować wykres czasowy.

5.3. Wartość pieniądza w czasie

Mając w posiadaniu pewną kwotę pieniędzy stajemy przed następującym wyborem: czy wydać te pieniądze natychmiast i kupić sobie coś czyli innymi słowy skonsumować je czy też przezornie zachować na późniejszy czas gdy może będą nam bardziej potrzebne?

Jeśli już nie przeznaczamy ich na konsumpcję, to w dalszym ciągu myślimy jak je przechować do chwili późniejszej. Chwila refleksji podsunie nam dość naturalna obawę czy trzymanie pieniędzy w portfelu (czy też innym bezpiecznym miejscu, przykładowa skarpeta czy pod materacem) to najlepsze sposób na nasze pieniądze bo przecież inflacja zmniejszać będzie ich wartość. Możemy też, te pieniądze zainwestować i spowodować by „pracowały” dla nas. Inwestowanie to oddanie własnych pieniędzy innym, którzy w zamian za użyczenie naszych pieniędzy na pewien okres zapłacą nam w postaci odsetek od pożyczonego kapitału i zwrócą go nam w tej samej kwocie co pożyczyli

Taką inwestycją może być lokata bankowa. Depozyt bankowy jest instrumentem pozwalającym na zwiększenie wartości naszych pieniędzy w czasie trwania depozytu.

Wpłacając pewną kwotę \(P\) do banku, na rachunek oszczędnościowy. Bank płaci nam rocznie roczne oprocentowanie w wysokości \(r\).

5.3.1. Procent prosty

Przykładowo:

Jeśli kwotę 100 PLN umieścimy na depozycie wypłacajacym 3% rocznie to:

• po 1 roku otrzymamy odsetki w wysokosci 3 PLN - które odprowadzamy na osobne konto

• po 2 roku otrzymamy odsetki w wysokości 3 PLN - które odprowadzamy na osobne konto

• po 3 roku otrzymamy odsetki w wysokości 3 PLN - które odprowadzamy na osobne konto

Po trzech latach dysponujemu kwotą 100 PLN na końcie depozytowym i kwotą 9 PLN na osobnym koncie. Taki sposób naliczania odsetek to procent prosty.

5.3.2. Procent składany

To zabieg polegajacy na wpłacaniu odsetek na tak samo oprocentowane konto po każdym okresie. Jest to równoważne dodaniu odsetek do kapitału po każdym okresie. Taki zabieg zwany jest procentem składanym.

Procent składany to sposób oprocentowania kapitału, polegający na tym, że odsetki są doliczane do wartości początkowej kapitału i procentują wraz z nim w kolejnym okresie bazowym. Odsetki otrzymane po upływie każdego okresu bazowego są natychmiast reinwestowane na tych samych warunkach co kapitał początkowy.

Przykładowo wpłacajac kwote \(P\) na konto depozytowe (oszczędnościowe) oprocentowane rocznie procentem \(r\). Po roku mamy więc:

\[F= P + Pr = P (1+r)\]

Po 2 latach zaś jesli po roku pozostawimy w depozycie zainwestowaną kwotę wraz z odsetkami:

\[F = P(1+r)(1+r) = F (1+r)^2\]

Gdzie:

• F = wartość przyszła

• P = wartość aktualna (bieżąca) pieniędzy

• r = stopa procentowa (oprocentowanie roczne)

po \(n\) latach wartość ta będzie wynosić:

\[F = P (1+r)^n\]

Albo inaczej przyjmując bardziej międzynarodowe oznaczenia:

\[F_V=P_V(1+r)^n\]

Gdzie:

• \(F_V\) nazywa się wartościa przyszłą (future value)

• \(P_V\) to wartość bieżąca pieniedzy (present value)

• \(n\) ilość lat

• \(r\) - stopa odsetkowa.

W ten sposób wyliczona została wartośc przyszła zainwestowanych pieniędzy. Wartość przyszła jest to wartość jaka narośnie z sumy inwestycji w pewnym okresie czasu jeśli oprocentowana będzie procentem składanym przy danej stopie odsetek.

Przykład

Obliczyć składane odsetki od 100 PLN zainwestowanych na 6% przez 3 lata. Naliczanie odsetek roczne.

• 1-szy rok odsetki wynoszą 6.00. Końcowa kwota inwestycji wynosi 106.00 PLN. Kwota ta jest inwestowana w całości na kolejny rok.

• 2-gi rok odsetki wynoszą 6.36. Końcowa kwota inwestycji wynosi 112.36 PLN. Kwota ta jest inwestowana w całości na kolejny rok.

• 3-ci rok odsetki wynoszą 6.74. Końcowa kwota inwestycji wynosi 119.11PLN.

Całkowite odsetki: 19.10 PLN

5.3.3. Kapitalizacja ciągła

Wyobraźmy sobie, że wykonujemy kapitalizację odsetek \(m\)-razy w ciągu roku. W takim przypadku stopa procentowa stosowana do obliczenia odsetek jest będzie wynosiła \(\frac{r}{m}\). Na przykład kapitalizując odsetki półrocznie (\(m=2\)) ze stopą roczną \(r=6\%\) to dwa razy w roku do kapitału dodamy po \(r=3\%\):

\[F_V = ( 1 + \frac{0.06}{2} )^2 P_V\]

Okazuje się, że istnieje granica \(m\to\infty\), która jest zwana procesem kapitalizacji ciągłej. W takim procesie kapilalizujemy na biężąco otrzymywane odsetki. Dla procesu \(m\) kapitalizacji w ciągu \(n\) lat mamy:

\[F_V = P_V (1+\frac{r}{m})^{m n}\]

Jak wiemy funkcja wykładnicza jest granicą następującego ciągu: \(e^x = \lim_{m\to\infty}(1+\frac{x}{m})^m\), więc mamy:

\[F_V = \lim_{m\to\infty} P_V (1+\frac{r}{m})^{m n} = \lim_{m\to\infty} P_V \left( (1+\frac{r}{m})^m \right)^n = e^{n r} P_V\]

5.4. Kapitalizacja, dyskontowanie

Gdyby znaleźć się w sytuacji, gdy dzisiaj potrzebujemy pieniędzy, które możemy zwrócić dopiero po pewnym czasie to znajdując kogoś kto dziś posiada pewna nadwyżkę pieniędzy możemy pożyczyć od niego pieniądze. Stajemy przed problemem ile pieniędzy będziemy musieli zwrócić po pewnym czasie. Dzisiaj wiemy ile potrzebujemu więc:

\[P_V= \frac{F_V}{(1+r)^n}\]

Rynek pieniądza znajduje się w równowadze i warunki oprocentowania „komuś” są takie same jak „od kogoś”, czyli stopa dyskontowa jest równa stopie oprocentowania.

Ostatnia prezentowana zależność pozwala nam obliczyć wartość pieniędzy w przyszłości - „wartość przyszłą”, znając wartość aktualną (bieżącą).

Z powyższego wzoru możemy też wyliczyć wartość dzisiejszą (aktualną) znając wartość przyszłą. Taki proces, posuwania sie w czasie wstecz, zwany jest dyskontowaniem.

W obu przypadkach należy znać stopę procentową. Stopę tę określa każdorazowo rynek.

5.5. Zdyskontowane strumienie pieniężne

Jeśli nabywamy jakiś instrument finansowy to instrument ten generuje przepływy finansowe. Przepływy mogą być

• wypływem na nabycie instrumentu

• wpływem do inwestora w postaci odsetek lub dywidendy albo końcowej wypłaty pieniężnej (zwrot zaciągniętej pożyczki albo wpływ ze sprzedaży akcji)

Ponieważ przepływy są odległe od siebie w czasie ich dzisiejszą wartość musimy obliczyć uwzględniając wartość pieniądza w czasie.

Dyskontowanie przepływów to wyrażanie ich w pieniądzu z okresu bieżącego czyli wartości aktualnej.

\[P_V =\sum_{i=1}^n P_V(D_i),\]

gdzie \(PV(D_i)\) to wartość zaktualizowana przepływu \(D_i\). W przypadku stałych wartości płatności w czasie wzór ten przybierze postać:

\[P_o=\sum\limits_{i=1}^n\frac{D}{(1+r)^i}\]

5.6. Stopa nominalna i efektywna

Nominalna stopa procentowa oznacza stopę procentową obliczoną przy zastosowaniu procentu prostego. Natomiast efektywna stopa procentowa określa rzeczywiste oprocentowanie kapitału wynikające z zastosowania nominalnej stopy procentowej oraz sposobu kapitalizowania odsetek.

Jeżeli odsetki są kapitalizowane raz do roku, to efektywna roczna stopa procentowa będzie równa nominalnej rocznej stopie procentowej. Natomiast jeśli odsetki będą kapitalizowane częściej niż raz do roku, to efektywna roczna stopa procentowa będzie wyższa niż nominalna roczna stopa procentowa.

Stopa procentowa w jednym okresie bazowym określona jest wzorem:

\[r =\frac{r_{NRSP}}{n}\]

gdzie:

• \(r\)- stopa procentowa za jeden okres bazowy,

• \(r_{NRSP}\) - nominalna roczna stopa procentowa,

• \(n\) - liczba okresów bazowych w roku.

Wzór na efektywną roczną stopę procentową ma postać:

\[r_{ERSP}={(1+r)^n}-1,\]

lub też

\[r_{ERSP}={(1+\frac{r_{NRSP}}{n})^n}-1\]

gdzie:

• \(r_{ERSP}\) - efektywna roczna stopa procentowa,

• \(r_{NRSP}\) - nominalna roczna stopa procentowa,

• \(r\) - stopa procentowa za jeden okres bazowy,

• \(n\) - liczba kapitalizacji w roku (liczba okresów bazowych w roku).

Innymi słowy; Jeśli naliczanie odsetek ma miejsce m razy w roku i na koniec roku n będzie mn płatności odsetek to

\[F_V=P_V(1+\frac{r}{m})^{nm}\]

czyli przy jednokrotnym naliczaniu odsetek w roku wzrost kapitału w ciągu roku bedzie równy

\[r_w=(1+r)\]

przy półrocznym naliczaniu;

\[r_{wf}=(1+\frac{r}{2})^2\]

przy naliczaniu kwartalnym

\[r_w=(1+\frac{r}{4})^4\]

przy naliczaniu miesięcznym

\[r_w=(1+\frac{r}{12})^{12}\]

a przy naliczaniu dziennym

\[r_w=(1+\frac{r}{365})^{365}\]

gdzie:

• \(r_w\) - zannualizowany współczynnik wzrostu kapitału.

Czyli częstsze naliczanie odsetek jest korzystne dla właściciela depozytu.

W sytuacji gdy liczba okresów bazowych n dąży do nieskończoności mamy do czynienia z kapitalizacją ciągłą. Wzór na efektywną roczną stopę procentową przy zastosowaniu ciągłej kapitalizacji odsetek przyjmuje postać:

\[r_{ERSPC}=(e^r_{NRSP})-1\]

gdzie:

• \(r_{ERSPC}\) - efektywna roczna stopa procentowa przy ciągłej kapitalizacji odsetek,

• \(r_{NRSP}\) - nominalna roczna stopa procentowa,

• \(e\) -podstawa logarytmu naturalnego.

Poeksperymentuj z komputerem!

Wyobraźmy sobie, że mamy depozyt na kwotę \(100\) na oprocentowaniu na pewną stopę \(r\). Zbadaj ile będziemy mieli na depozycie środków po np. \(4\) latach w przypadku:

• kapitalizacji rocznej,

• kapitalizacji miesięcznej,

• kapitalizacji ciągłej.

Na wykresie kolorem czerwonym zaznaczona jest kapitalizacja ciągła, zielone punkty to kapilalizacja roczna. Można też zwiększyć częstość kapitalizacji depozytu zmieniąc parametr „liczba kapitalizacji w miesiącu”. Pod wykresem pokazana jest nominalna wartość końcowego kapitału w obu procesach i ich względna różnica.

5.7. Sposoby oceny efektywności aktywa

Dyskontowanie strumieni pieniężnych pozwala na porównanie różnych przepływów pieniężnych poprzez sprowadzenie ich do porównania ich wartości w tym samym punkcie czasu. Dyskontowanie pozwala na mierzenie efektywności alokacji.

5.7.1. Wartość bieżąca netto

Jest to wielkość pozwalająca na ocenę efektywności inwestycji. W chwili \(t = 0\) nabywamy aktywo. Nabycie to ujemny przepływ finansowy w chwili t=0 często ten przepływ nazywamy kosztem inwestycji.

Wartość bieżącą netto wyliczamy odejmując od przyszłych wpływów finansowych dzisiejsze koszty inwestycji np. nabycie instrumentu:

\[NPV=\sum_{t=1}^n\frac{D_t}{(1+r)^t}-I_0\]

gdzie:

• \(NPV\) - wartość bieżąca netto,

• \(D_t\) - przepływy gotówkowe w okresie t,

• \(r\) - stopa dyskonta,

• \(I_0\) - nakłady początkowe,

• \(t\) - kolejne okresy (najczęściej lata) inwestycji

Generalnie wartość bieżąca netto to różnica zdyskontowanych wpływów (ze znakiem \(+\)) i wypływów (ze znakiem \(-\)) finansowych generowanych przez inwestycje.

Jeśli NPV jest mniejsze od zera to inwestycja jest niekorzystna.

5.7.2. IRR czyli wewnętrzna stopa zwrotu

Wartość NPV zależy od stopy procentowej. Wyobraźmy sobie sytuację w której inwestujemy w pewny biznes środki z kredytu na pięć lat. Biznes ten przyniesie zysk już za rok - pewnej stałej wartości nominalnej, tak, że NPV jest dodatnie i wyjdziemy na swoje. Jednak jeśli stopa procentowa wzrośnie, to może się okazać że kredyt będzie nasz kosztował więcej niż zysk z inwestycji. W finansach stosuje się pojęcie wewnętrzej stopy zwrotu (ang. Internal Rate of Return, IRR). Z definicji jest to taka stopa przy której \(NVP=0\). Obliczenie IRR sprowadza się matematycznie do znalezienia miejsca zerowego wielomianu. Rozwiązań \(NPV=0\) może być wiele, ale w takim przypadku interesuje nas najmniejsze dodatnie miejsce zerowe. Ponieważ mamy do czynienia z wielomianem rzędu większego od czterech do rozwiązywania stosujemy metody przybliżone.

Poeksperymentuj z komputerem!

Pożyczamy 5000zł w zamian za wypłatę sześciu kwot po 1000zł na koniec każdego roku. Zobacz jak wygląda NPV w funkcji stopy procentowej dla takiej inwestycji. Stosując funkcję w Sage find_root można znaleźć jej miejsce zerowe - czyli IRR.

Poeksperymentuj z komputerem!

Nie zawsze NPV ma jedno zero!

5.8. Obliczanie wartości pieniądza w czasie

Poniżej pokazane będą dwa przykłady obliczeń z tego zakresu. Nie wymagają użycia bardzo skomplikowanych metod obliczeń ale mają za zadanie pokazać specyfikę tego rodzaju obliczeń i przydatność w tym celu komputera oraz wymaganych na wielu egzaminach zawodowych umiejętności posługiwania sie kalkulatorem finansowym, które to urządzenie ma wbudowane możliwości liczenia szeregów geometrycznych i jest niezwykle przydatne w finansach. Warto zapoznać się z tym urządzeniem i umieć dokonywać na nim różnych obliczeń.

Zgodnie z komunikatem nr 8 Komisji Egzaminacyjnej dla doradców inwestycyjnych z dnia 22 lutego 2006 podczas egzaminów na doradców finansowych mogą być używane jedynie kalkulatory rekomendowane przez Komisję. Przykładowo kalkulatory finansowe HP 10BII oraz 12C Platinum zostały dopuszczone do używania podczas egzaminów na doradców inwestycyjnych.

Przykład 1

Jaka jest wartość aktualna (bieżąca) kwoty 1000 PLN którą otrzymamy za 15 lat jeśli dzisiaj oferują nam depozyt na 7% rocznie?

Rozwiązanie:

Przykład 2

Przewidywana cena samochodu za siedem lat wynosi 40 000.

1. Ile musisz odkładać rocznie na konto oprocentowane 10% rocznie by móc oszczędzić tę kwote przez te 7 lat?

2. Jeśli masz dzisiaj 15 000 na ten cel, to jaka musi być stopa zwrotu z tej , Twojej, inwestycji by za 7 lat wyniosła ona 40 000?

Rozwiązanie:

Na pytania te można odpowiedzieć korzystając z wyliczeń matematyki finansowej w zakresie wartości pieniadza w czasie. Kłopotem może być wyliczenie sum wyrazów o dość wysokich potęgach, ale od czego jest kalkulator. Można udzielić odpowiedzi korzystajac z akusza kalkulacyjnego, kodów pokazanych powyżej w Sage oraz wspomnianych kalkulatorów finansowych, gdzie te i podobne zagadnienie wylicza się bardzo prosto wprowadzajac wiadome w postaci danych, a to; stopy procentowej, raty spłaty, ilości spłat, wartości początkowej lub wartości końcowej i wyliczeniu brakującj a szukanej wielkości poprzez naciśnięcie odpowiedniego przycisku.

5.9. Wartość pieniądza w czasie - uwagi podsumowujące

Mówiąc o wartości pieniężnej należy mieć na uwadze czas dla którego wartość ta jest określana. Czas bowiem zmienia wartość pieniędzy. Uwagi końcowe:

• Porównując wartości pieniężne sprawdzić należy w jakich jednostkach są podawane.

• Dwie wielkości wartości pieniężnych mogą być porównywane ( w tym dodawane lub odejmowane) jeśli dotyczą tego samego momentu czasu.

• Jeśli porównuje się wartości monetarne w różnych momentach czasowych należy zastosować odpowiednie przeliczniki zwane dyskontowaniem lub kapitalizacją.

• Jeśli mamy dwie wartości monetarne \(X\) i \(Y\), to:

  • Jeśli wartość \(X > Y\) (lub \(X<Y\)) w czasie \(t_1\) to jest większa (lub odpowiednio mniejsza) w czasie \(t_2\).

  • Jeśli \(X =Y\) w czasie \(t_1\) to \(X\) będzie równa \(Y\) w każdym czasie \(t_2\).

5.10. Jak obliczyć ilość dni pomiędzy dwoma datami?

Ilość dni jaki upływa między każdorazowym transferem pieniądza jest istotnym elementem w finansach.

5.10.1. Ilość dni między datami

Jedną z możliwości jest konwersja daty do ilości dni Juliańskch. Jest to liczba dni, która upłynęła od 1 stycznia roku 4713 p.n.e., według kalendarza juliańskiego. Metoda i algorytm jest opisana na stronach Wikipedii: Data Juliańska.

Większość systemów komputerowych ma wbudowaną funkcję pozwalającą na obliczanie ilości dni pomiędzy dwoma datami. Na przykład w języku python można wykorzystać moduł datetime w następujący sposób:

Wyliczmy ile jest dni roboczych, począwszy od 1 października 2014 do 17 lutego 2015 - czyli w semestrze zimowym:

Ilość dni pracujących - dni roboczych ma istotne znaczenie dla różnych obliczeń na rynkach finansowych. Dlatego umiejętność takich obliczeń jest bardzo istotna. Przy takich obliczeniach należy pamiętać o różnych kulturach i różnych dniach świątecznych obowiązujących na świecie jeśli nasze rozliczenia dotyczą różnych krajów. Dla obliczeń instrumentów finansowych przyjmuje się różne ilości dni w roku. Długość roku kalendarzowego wymosi 365/366 dni. Taki rok charakteryzuje pewne instrumenty szczególnie popularne na rynku brytyjskim. Rok o długości 360 dni - to tzw. rok obrotowy (\(12\times30\) dni). Taka miara roku popularna jest na rynku amerykańskim. Instrument finansowy posiada w swym opisie informacje jaki format dni w roku jest stosowny dla tego instrumentu.

Poeksperymentuj z komputerem!

Ile wtorków będzie w tym semestrze?

5.10.2. Standardy liczenia dni w praktyce finansowej

W matematyce finansowej spotkać można kilka standardów na określanie odległości w czasie.

1. Dokładna liczba dni. Przyjmuje się, że rok liczy 365/366 dni a ilość dni liczy sie przykładowo tak jak powyżej pokazano. Każdy miesiąc ma tyle dni ile przewiduje kalendarz. Ilość lat określa się dzieląc ilość dni między datami przez ilość dni w roku.

2. Zasada równych miesięcy. Według tej zasady rok liczy 360 dni i dzieli się na 12 miesięcy po 30 dni. Tzn. w lutym jest data 29luty oraz 30luty. A 31 nie występuje w żadnym miesiącu. Zasada ta stosowana jest w 3 wersjach:

   1. Metoda Europejska - 12 miesięcy po 30 dni. 360 dni w roku. Metoda czasem nazywana 30/360. W tej konwencji liczone są renty i spłaty kredytów większości kalkulatorów. Stosuje się tą metodę do szybkich przybliżeń w matematyce finansowej.

   2. Dokładna liczba dni w miesiącach - rok 360 dni. Wylicza się prawdziwą ilość dni między datami (tak jak w przypadku kalendarza juliańskiego). Stosowanie tej metody zwanej czasami metodą bankową powoduje to, że kredytobiorca powinien płacić odsetki od rzeczywistych dni w miesiącu. Innymi słowy powinien zapłacić za dodatkowe 5 lub 6 dni w roku w porównaniu do metody 30/360. Czyli stopa oprocentowania rocznego kredytu praktycznie dla niego wyniesie: \(r=\frac{365}{360}r' =20.28\%\), gdzie \(r'\) - stopa określona dla kredytu

   3. Metoda stosowana na rynku amerykańskim (NASD) to 12 miesięcy po 30 dni każdy. http://www.hsbcnet.com/gbm/attachments/standalone/2006-isda-definitions.pdf Zasady poprawek do daty aktualnej dla instrumentów naliczających odsetki na koniec kalendarzowego miesiąca. Może być potrzebne stosowanie kilku poprawek. Stosuje się je w następującej kolejności:

      • Jeśli data1 przypada na ostatni dzień miesiąca lutego i data2 przypada też na ostatni dzień miesiąca lutego (innego roku) to zmienia się datę2 na 30.

      • Jeśli data1 przypada na ostatni dzień lutego to zmieniamy ją na 30.

      • Jeśli data 2 przypada na 31 i data 1 przypada na 30 to zmieni się datę 2 na 30.

      • Jeśli data1 przypada na 31 to zmienia się ją na 30.

Należy pamiętać, że pewne instrumenty finansowe rozliczane są w tygodniach. Przykładowo bony skarbowe. W tym przypadku rok ma 52 tygodnie i dzieli się na 4 kwartały po 13 tygodni. Tydzień to 7 dni.

Instrumenty finansowe mają bardzo interesujące zasady naliczania czasu i zawsze należy zaznajomić się regulacjami przyjętymi dla danego instrumentu finansowego. Sprawę dodatkowo komplikują różne standardy używane na świecie.

5.11. Renty i kredyty

5.11.1. Renty

Renta to jest ciąg płatności. Zazwyczaj płatności występują regularnie (równe okresy) i zazwyczaj w równej wielkości. Źródłem takich strumieni finansowych mogą być np; obligacje (płatności kuponowe), opłaty czynszowe wpływające za wynajem lokalu, akcje wypłacające regularnie dywidendę, odsetki od lokat terminowych etc. .

Wielkości charakterystyczne dla rent to : Wielkość płatności, odstęp czasowy między płatnościami, moment płatności, sposób naliczania odsetek, otoczenie stopy procentowej i ilość rat .

5.11.1.1. Renta wieczysta

Renta wieczysta to nieskończony ciąg, równookresowych i równych płatności. Rozpoczęcie analizy przypadku rent od takiego modelu spowodowane jest jego znaczącym miejscem w matematyce finansowej. Niech renta ta to ciąg płatności C. Płatności są płacone na koniec kolejnych okresów, czyli pierwszy strumień pojawia się w okresie1. Wartość bieżącą tego ciągu płatności w punkcie t = 0 policzyć można dyskontując płatności do chwili t = 0 w następujący sposób:

\[PV = \frac {C}{(1+r)}+\frac{C}{(1+r)^2} + \frac{C}{(1+r)^3}+ ... \frac{C}{(1+r)^n} + ...\]

Jeśli obie strony pomnożymy przez \((1+r)\), otrzymamy:

\[PV(1+r) = \ C + \frac {C}{(1+r)}+\frac{C}{(1+r)^2} + \frac{C}{(1+r)^3}+ ... \frac{C}{(1+r)^ n} + ...\]

Po prawej stronie równania wyrazy występujące po \(C\) to nieskończony szereg płatności jak w wyjściowym równaniu czyli ta cześć sumy to \(PV\)

Czyli

\[PV(1+r) = C + PV\]

Stąd

\[PV= \frac{C}{r}\]

Wartość bieżąca takiego instrumentu to cena tegoż instrumentu zwana też wartością godziwą.

• \(PV\) - to tyle ile jest warty taki instrument

Wzór prosty i łatwy do zapamiętania ale pojawia sie pytanie czy jest to tylko model teoretyczny czy takie instrumenty istnieją. Takie obligacje, zwana konsolami wyemitował rząd brytyjski na potrzeby finansowania wojny z Napoleonem Bonaparte i spłaca je do dziś i zamierza to robić do końca swego istnienia. Korporacja Disneya wyemitowała obligacje stuletnie. Można policzyć wartość tej obligacji i porównać go z wartością konsoli aby przekonać się jak dobrze obligacje Disneya przybliżają obligacje wieczystą.

5.11.1.2. Zastosowanie renty do określenia wartości godziwej akcji czyli renta wieczysta o rosnącej racie

Zanim zostanie opisane zachowanie się aktywa zwanego akcją czyli instrumentu własnościowego rozważyć należ przypadek jak wycenić rentę wieczystą, której wartość raty w czasie będzie wzrastała. Wzrost następuje co okres o g %.

Innymi słowy: Po okresie 1 rata jest równa C, po okresie 2 rata to \(\frac{C}{(1+g)}\) a po okresi 3 rata jest równa \(\frac{C}{(1+g)^2}\) etc.

Wartość bieżąca czyli cena będzie równa sumie zdyskontowanych rat:

\[PV = \frac{C}{1+r}+\frac{C(1+g)}{(1+r)^2} + \frac{C(1+g)^2}{(1+r)^2}+...\frac{C(1+g)^n-1}{(1+r)^n} + ...\]

Mnożąc obie strony równania przez \(\frac{1+r}{1+g}\) postępując podobnie jak w przypadku renty wieczystej otrzymujemy:

\[PV \frac{1+r}{1+g} = \frac{C}{1+g} + PV \frac{1+r}{1+g}\]

Po prostych przeliczeniach algebraicznych otrzymujemy:

\[PV= \frac{C}{r-g}\]

Gdzie g<r.

5.11.1.3. Wycena akcji w oparciu o wartość wypłacanej dywidendy

Zastosowanie powyższego rozumowania do wyceny wartości akcji samo się narzuca. Akcja to instrument właścicielski dający właścicielowi prawo do udziału w majątku emitenta akcji, w tym prawo do dywidendy. Dywidenda to udział w zysku. Należy pamiętać, że jeśli akcje kupujemy na nieznany okres to należy traktować spółkę jako źródło dywidendy na okres nieskończony. Spółka bowiem nie ma zdefiniowanego czasu życia. Raczej należy myślec tu o czasie nieskończonym a nie o skończonym ciągu rat. Jeśli tak, to w tym przypadku \(n\to\infty\) to dla skończonej ceny w nieskończoności Otrzymujemy

\[PV=\sum\limits_{i=1}^n\frac{C_i }{(1+r)^i}\]

Model powyższy określania ceny godziwej akcji jest zwany modelem dyskontowanej dywidendy. Należy podkreślić w tym miejscu kilka aspektów stosowania modelu. Pierwszy aspekt, należy pamiętać, że jest to model. Założenie nieskończonego życia spółki powoduje, że wycena dzisiejszej wartości spółki nie wymaga znajomości przyszłej ceny akcji. Model ten wskazuje, że w cenie aktualnej akcji jest „zawarty” nieskończony ciąg przyszłych dywidend.

Jeśli weźmie się do analizy zyski firmy to uwaga, że firma niezwykle rzadko przeznacza cały zysk na dywidendę jest niezwykle trafną uwagą. Konsekwencją takiego myślenia jest, to, że cena wyliczona z dywidend, które zazwyczaj są mniejsze niż zyski firmy może dać wartość mniejszą niż w oparciu o wzrost zysków. Ale dla tego modelu przyjmuje się jeszcze jedno założenie- jeśli zyski firmy rosną, to dywidenda też powinna rosnąć w tym samym tempie.

5.11.1.4. Przypadek stałego wzrostu. Wzrost zerowy dywidendy

Załóżmy, że spółka płaci stałą dywidendę i nie ma szans na jej wzrost w rozsądnej przyszłości. Czyli:

\[D_1 > = D_2 = ... = D_i\]

Gdzie \(D_i\) to i-ta dywidenda.

Jeśli ma stałą wartość \(C\), to stały strumień pieniądza generowany przez wypłatę dywidend do nieskończoności jako sumy szeregu nieskończonego daje wynik:

\[P_o = \frac {C}{r}\]

Czyli mamy przypadek renty wieczystej.

Innymi słowy cena akcji jest równa wartości wieczystej dywidendy dzielonej przez stopę dyskontową. Jeśli stopa dyskontowa jest stopą rynkową dyskonta (właściwą dla ryzyka inwestycji w tą akcję) to tak uzyskana cena jest ceną rynkową. Chociaż liczba firm wypłacających w nieskończoność stałą dywidendę jest praktycznie raczej niewielka, to ten model jest przydatny do wyceny jeśli aktualnie wypłacane dywidendy nie zmieniają się od pewnego czasu. Z pewnością równanie takie można stosować dla wyceny akcji uprzywilejowanych (co do wielkości wypłaty dywidendy).

5.11.1.5. Stały wzrost dywidendy. Wzrost większy od zera

Przyjmujemy, że dywidenda wzrasta z roku na rok o czynnik g.

Cena z modelu dyskontowego dywidendy jest

\[P_o=\sum_{i=1}^n\frac{D_i}{(1+r)^i}\]

Jeśli wzrost dywidendy jest stały możemy kolejne dywidendy zapisać korzystając z dywidendy okresu poprzedniego i czynnika wzrostu

\[D_1 = D_0(1+g)\]

Gdzie

G - jest procentowym wzrostem dywidendy (zysków) W kolejnym roku

\[D_2=(D_1 )(1+g)\]

Czyli:

\[D_2=(D_0 )(1+g)^2\]

Dla i-tego roku

\[D_i=(D_0 )(1+g)^i\]

Wstawiając tak wyliczoną i-tą dywidende do wzoru na cene akcji w modelu dyskontowania dywidendy otrzymamy to samo co dla wzrostu renty wieczystej o czynnik g:

\[PV = P_0 = \frac{C}{r-g}\]

To ostatnie równanie jest zwane równaniem modelu Gordona i jest najczęściej stosowanym równaniem dla dywidendowej wyceny akcji spółki. Nazwa równanie Gordona jest przyjęte w literaturze mimo, kilka lat wcześniej równoważny model została zaprezentowany przez J.B.Williams’a w „Theory of Investment Value”( Cambridge, MA: Harvard University Press, 1938).

Ciekawych odpowiedzi na pytanie co w przypadku gdy g jest większe od r??? - odsyłamy do rozważań przedstawionych w pozycjach : Ramesh Rao „Financial Management” –Uniwersity of Texas South Western College Publishing1995 lub R.A.Brealey, S.T.Myers-„ Principles of corporate Finance” McGraw HillComp-1996.

5.11.1.6. Renta dla skończonej ilości okresów

Jeśli mamy do czynienia ze skończoną liczbą rat to wartość aktualną takiego szeregu możemy policzyć. Możemy postąpić na przykład w taki sposób: Kupujemy rentę wieczystą a po n okresach jej posiadania sprzedajemy ją na rynku. Tak więc z nieskończonego ciągu rat wybraliśmy dla siebie wartość skończonego szeregu rat. Przeprowadziliśmy operacje kupna nieskończonego ciągu rat i jego sprzedaży po n okresach. Jak jest wartość transakcji? Kupiliśmy rentę wieczystą za cenę:

\[P_o =PV= \frac {C}{r}\]

A następnie sprzedaliśmy po czasie n okresów rentę wieczystą za którą dostaliśmy taką cenę jak jest warta renta wieczysta czyli: \(P_o = \frac{C}{r}\). Tylko, że dostaliśmy tę cenę po n okresach. Jej wartość bieżąca to :

\[P_o=PV=\frac{C/r }{(1+r)^n}\]

Czyli cena transakcji, która jest wartością skończonego szeregu płatności to:

\[P_0=PV=\frac {C}{r}-\frac{C/r }{(1+r)^n}\]

Albo inaczej:

(1)\[P_0=PV=\frac {C}{r}\left(1-\frac{1 }{(1+r)^n}\right)\]

A ten wzór opisuje kredyt wzięty dzisiaj o wartości bieżącej sumy n spłat płaconych w przyszłości w kolejnych okresach.

5.11.1.7. Suma szeregu geometrycznego a cztery przydatne wzory na rentę

Dla renty możemy wyliczyć wartość przyszłą i aktualną. Ponadto mamy rentę płatną na początku okresu, zwaną czasem rentą z góry, oraz rentę zwykłą czyli płatną na końcu okresu Daje to w sumie cztery kombinacje, dla których są cztery oddzielne wzory. Wszystkie one jednak pochodzą ze znanego z lekcji matematyki jednego wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego:

\[S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n q^{k-1}a_0 = \frac{a_0(1-q^n)}{1-q} = a_0\frac{(q^n-1)}{q-1}\]

Łatwo zauważyć, że \(a_0\) to płatność, nazywana w powyższych wzorach przez \(C\) a na kalkulatorach finansowych - PMT. Iloraz szeregu w zależności od sytuacji będzie czynnikiem dyskontującym albo kapitalizującym.

Mamy więc:

1. Wartość aktualną (PV) dla renty zwykłej czyli płatnej na końcu okresu.

   Bierzemy sumę \(S_{n+1}\) bez pierwszego wyrazu a za iloraz szeregu geometrycznego wstawiamy: \(q=\frac{1}{1+r}\).

\[PV = S_{n+1}-a_0 = a_0 \frac{1-\frac{1}{\left(r + 1\right)^{N}} }{r}\]

2. Wartość przyszłą FV dla renty zwykłej czyli płatnej na końcu okresu.

   Bierzemy sumę \(S_{n}\) a za iloraz szeregu geometrycznego wstawiamy: \(q=1+r\).

   \[FV = S_n = a_0 \frac{{\left(r + 1\right)}^{N} - 1}{r}\]

3. Wartość aktualną (PV) dla renty z góry czyli płatnej na początku okresu.

   Bierzemy sumę \(S_n\) a za iloraz szeregu geometrycznego wstawiamy: \(q=\frac{1}{1+r}\).

   \[PV = S_n = a_0 \frac{\frac{1}{{\left(r + 1\right)}^{N}} - 1}{\frac{1}{r + 1} - 1}\]

4. Wartość przyszłą (FV) dla renty z góry czyli płatnej na początku okresu.

Bierzemy sumę \(S_{n+1}\) bez pierwszego wyrazu a za iloraz szeregu geometrycznego wstawiamy: \(q=1+r\).

\[FV =S_{n+1}-a_0=a_0\frac{{\left(r + 1\right)}^{{\left(N + 1\right)}} - 1}{r} - 1\]

W Sage możemy łatwo zapisać i wyliczyć powyższe wzory:

5.11.2. Kredyty

Wyliczenia wartości aktualnej przyszłych, równych strumieni pieniężnych, tak jak w przypadku renty, może zostać zastosowane do wyliczenia spłaty kredytu. Kredyt bowiem to kwota pieniędzy otrzymywana dzisiaj od kredytodawcy i spłacana w przyszłości najczęściej w równych odstępach czasu. Spłata kredytu określona przez zasady renty to spłata równymi ratami okresowymi (przykładowo płaconymi co miesiąc). Z wyliczeń dotyczących renty wynika, że:

\[PV = PMT \frac{1-\frac{1}{(1+r)^n}}{r}\]

Gdzie:

• PV - wartość aktualna (bieżąca)

• PMT - płatność regularna, okresowa, rata.

• R - stopa procentowa

Oznaczenie PMT użyte zostało, gdyż jest to światowy standard, używany we wszelkich kalkulatoprach finansowych. Wcześniej ta wielkośc była nazywana C (patrz wzór (1)). Proste matematyczne przekształcenie wzoru pozwala obliczyć wartość raty spłaty kredytu w tym sposobie spłacania.

\[PMT = \frac{\mathrm{PV}\; r}{1-(1+r)^{-n}}\]

Innym sposobem spłacania kredytu, stosowanym przez banki, jest sposób spłacania równymi ratami kapitałowymi. W tym sposobie wysokość okresowej raty spłacania kredytu obliczana jest w następujący sposób: Wielkość pożyczonej kwoty jest dzielona przez ilość okresów spłaty. Otrzymana w ten sposób wielkość rata kapitałowa. Kapitał pożyczony w ramach kredytu jest spłacany równymi ratami kapitałowymi. Do tej raty należy doliczyć koszty pieniądza czasie czyli koszt odsetek od pożyczonego (a nie zwróconego jeszcze) kapitału. Wielkość raty spłaty na koniec każdego kresu określona jest jako suma raty kapitałowej i wartość czasowa odsetek od niespłaconego kapitału. Obrazuje to poniższy wzór:

\[dj = \frac{P}{N} + Odj\]

gdzie :

• dj- rata spłaty kredytu

• P/N- rata kapitałowa (P – kwota pożyczona, N ilość okresów spłaty)

• Odj- odsetki od niespłaconego kapitału.

część odsetkowa = kwota kredytu pozostała do spłaty razy oprocentowanie w skali roku/ilość rat w roku Sumaryczna wielkość raty spłaty kredytu składająca się z raty kapitałowej i odsetek jest wielkością malejącą w czasie spłaty gdyż wielkość odsetek maleje. Porównanie spłaty kredytów omówionymi metodami pokazują przeliczenia poniżej:

Porównując powyższe harmonogramy spłat kredytu dwoma sposobami należy pamiętać, że z punktu matematyki finansowej i wartości pieniądza w czasie te dwa rodzaje spłaty są sobie równe. Czyli koszt kredytu jest prawie taki sam, niezależnie, czy wybierzemy formę spłat równych, czy malejących. Nie mniej jednak raty płacone nie są sobie równe i pojawia się pytanie który sposób jest (??) lepszy i dla kogo?

Rozważmy porównanie w sytuacji stałej stopy procentowej w czasie spłacania kredytu. Ponadto z punktu czysto praktycznego przyjmijmy, że kredyt spłacany jest w ratach miesięcznych.

Gdy wybierzemy spłaty równe, to, przez cały okres spłaty kredytu comiesięczne wpłaty do banku będą takie same. Część kapitałowa raty systematycznie rośnie w ciągu całego okresu spłaty, zaś część odsetkowa sukcesywnie maleje. Początkowo większą część spłaty stanowią więc odsetki, a bardzo niewielką - kapitał. Proporcje te zmieniają się w miarę dokonywania kolejnych spłat. Pod koniec okresu spłaty pojedyncza rata zawiera już głównie część kapitałową.

Przy stałym oprocentowaniu wysokość rat równych przez cały czas jest taka sama.

Spłaty malejące, jak zresztą sama nazwa wskazuje, z każdym kolejnym miesiącem są coraz niższe. W każdej spłacie spłacana jest równa część pożyczonego kapitału, natomiast coraz mniejsze odsetki. Wynika to z prostej zależności - malejący stan zadłużenia to stale mniejsza suma, od której naliczane są odsetki. Sumując arytmetycznie odsetki, widać, że ich suma w przypadku spłat malejących jest mniejsza niż analogiczna suma w przypadku spłat równych. Natomiast spłaty w okresie początkowym są wyższe niż w przypadku spłat równych. Metoda malejących spłat jest bardziej uciążliwa dla budżetu kredytobiorcy i wymaga posiadania większych „rezerw” na początku okresu spłat. Metoda stałych spłat jest równym obciążeniem czasie całej spłaty kredytu i jest łatwiejsza do oceny czy kredytobiorca jest w stanie spłacać kredyt.

Tak więc wybór metody spłaty kredytu zależy głównie od sytuacji finansowej kredytobiorcy.