O kątach i rysowaniu

Wiemy, że kąt wpisany jest dokładnie dwa razy mniejszy od środkowego więc zadanie sprowadza się do rozwiązania równania: $2 x = x + 20$, gdzie $x$ oznacza wartość kąta wpisanego:

xxxxxxxxxx

 

1

solve( 2*x == x + 20,x)

Evaluate

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

I mamy nasze rozwiązanie!

Ale możemy pokusić się o geometryczną konstrukcje, wykorzystująca w Sage możliwość rysowania lini przechodzącej przez zadane punkty line i okręgów circle. Załóżmy, że okrąg ma promien jeden to do narysowania kąta środkowego potrzebujemy wzorów na współrzędne punktu na okręgu. Z pomocą przychodzą definicje sinusa i cosinusa i mamy:

$$\begin{split}\cos(\phi) = \frac{x}{r} \\ \sin(\phi) = \frac{y}{r}\end{split}$$

Czyli współrzędne punktu na okręgu jednostkowym będącego pod kątem $\phi$ względem osi x wynoszą: $\left(\cos(\phi),\sin(\phi)\right)$

xxxxxxxxxx

 

1

var('x')

2

def dwa_katy(phi0= 1.23):

3

​

4

    p = line( [(0,0),(cos(phi0),sin(phi0))])

5

    p += line( [(-1,0),(cos(phi0),sin(phi0))])

6

    p += circle((0,0),1,color='gray',fill=True,alpha=0.2)

7

    return p

8

​

9

@interact

10

def _(phi0=slider(0,180,1)):

11

    dwa_katy(phi0/180*pi).show(figsize=5)

Evaluate

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

Hmmm, a co z drugą połową wykresu? Oczywiście mamy symetrię $y\to-y$ - lub $\phi\to-\phi$ więc wystarczy odbic względem osi x nasz rysunek. Moglibysmy dopisać odpowiednie komendy w funkcji dwa_katy, ale możemy postąpić chytrzej!. Zauważmy, że w funkcji dwa_katy możemy podać ujemną wartość kąta. Gdybyśmy mogli nałożyć na rysunek dla kąta $\phi$ jego symetryczny odpowiednik dla $-\phi$ do otrzymalibyśmy kompletną ilustracje. W Sage jest to niezwykle proste - objekty graficzne można do siebie dodawać, a nasza funkcja własnie zwraca objekt graficzny. Poeksperymentujmy sami zastępując ostatnią linię kodu przez:

(dwa_katy(phi0/180*pi)+dwa_katy(-phi0/180*pi)).show(figsize=5)