15. VaR

15.1. Wstęp- co to jest VaR?

Zarządzanie portfelem to proces ustawicznej analizy sytuacji na rynku i zachowania się cen aktywów, proces optymalizacji składu posiadanego portfela tak by zysk z niego był wysoki oraz szukanie sposobów by ewentualna strata wartości portfela była możliwie najmniej bolesna. Ograniczanie strat, to podstawowe oczekiwanie zarządzania ryzykiem a źródłem tego ryzyka jest zmienność cen aktywów. Generalnie, optymalizacja w procesie zarządzania portfelem sprowadza się do maksymalizacji dochodu przy niezmiennym ryzyku albo do zmniejszania ryzyka przy ustalonym dochodzie.

Coraz większe skomplikowanie instrumentów finansowych i transakcji wymagało stworzenia w miarę prostego, ale jednocześnie elastycznego narzędzia kontroli ekspozycji na ryzyko.

Przykładowo w koncepcji CAPM takim parametrem charakteryzującym poziom ryzyka akcji jest współczynnik beta. VaR (skrót od angielskiego Value at Risk) jako metoda (a także wskaźnik podejmowanego ryzyka), powstała w związku z koniecznością wyceny ryzyka instrumentów, portfeli instrumentów, które to stają się coraz bardziej wyrafinowane i skomplikowane. Wartość VaR wyraża stopień ekspozycji podmiotu na ryzyko w zakresie posiadania określonego portfela aktywów. Zadaniem VaRu jest określenie pewnej wartości potencjalnej straty (przy założonym poziomie prawdopodobieństwa, przedziale czasowym, normalnych warunkach rynkowych i przy wycenie aktywów po cenach ostatnich zawartych rynkowo transakcji czyli Mark-to-Market). VaR informuje, na jaki poziom strat narażona jest pula aktywów, przy określonych warunkach pomiaru.

VaR (wartość narażona na ryzyko, wartość zagrożona) jest to kwota, jaką można stracić w wyniku inwestycji w portfel w określonym horyzoncie czasowym i przy założonym poziomie ufności. VaR jest statystyczną miarą ryzyka, która szacuje stratę na portfelu, jaka może wystąpić przy założonym poziomie ufności. VAR zawsze określa prawdopodobieństwo, zgodnie z którym straty (dotkliwość ryzyka) przy zadanym prawdopodobieństwie (przedział ufności) statystycznie nie powinny być większe od wyliczone kwoty.

Definiując VaR uznajemy, że VaR jest poziomem straty, który może zostać przekroczony z prawdopodobieństwem równym a.

Nie należy interpretować wyliczonej wartości VaR’u jako stwierdzenie, że „VaR jest maksymalną stratą” nawet jeśli autorzy dodają do tego wyrażenia uwagę, że mamy do czynienia ze statystyką, np. „przy ustalonym poziomie istotności (ufności)”. Bywają sytuacje, że straty mogą być dużo wyższe 1

Innymi słowy VaR to wartość strat, która może być przekroczona z prawdopodobieństwem α lub to wielkość straty, która może nie być przekroczona z prawdopodobieństwem równym \((1-\alpha)\) w kolejnym dniu. VaR jest bardzo wygodną i praktyczna miarą ryzyka. Prostota jej to przede wszystkim to, że jest to konkretna liczba. To daje prostą możliwość porównania i pewność w interpretacji odnośnie do porównywania zasad zarządzania finansowego. Jest to metoda, która podaje ogólny poziom ryzyka, niezależnie od rodzaju aktywów w powszechnie zrozumiałych jednostkach jakimi są pieniądze (wartość rynkowa).

Konsekwencja zasady funkcjonowania VaR jest prosta: Jeżeli dany portfel aktywów przynosi większe zyski, przy mniejszym poziomie ryzyka VaR, to należało zwiększyć jego wielkość. Jeżeli dane aktywo przynosi większe zyski przy takim samym poziomie VaR, to należało zwiększyć zaangażowanie w to aktywo. Jeżeli zarządzający generował większe zyski przy tym samym poziomie VaR, to należy się mu się odpowiednio większa premia.

15.2. Kwantyle i percentyle

Z pojęciem VaR nieodłącznie związane jest pojęcie kwantyla. Cóż to jest kwantyl? Kwantylem rzędu \(p\) zmiennej losowej \(X\) o ciągłym rozkładzie danym gęstością \(f(x)\) nazywamy taką wartość \(x_p\), że zachodzi:

\[\int_{-\infty}^{x_p} f(x) dx = F(x_p) = p\]

Percentylem, określa się kwantyl rzędu \(\frac{p}{100\%}\), czyli kwantyl rzędu 0.05 jest równy percentylowi rzędu \(5\%\). Dla rozkładu normalnego (Gaussa) o średniej i variancji \(\mu\) i \(\sigma\), odpowiednio, kwantyl rzędu \(p\) jest dany wzorem:

(1)\[\mu+\sigma\sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2 p - 1),\]

co łatwo pokazać wiedząc, że dystybuanta zmiennej normalnej wynosi:

\[\frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]\]

Wzór (1) ma ważną własność - widzimy, że wystarczy znać kwantyl dla rozkładu o średniej zero i wariancji jeden by łatwo go sobie przetransformować na zmienną losową o dowonych parametrach (oczywiście gaussowską).

Wzory te są dostępne w każdym podręczniku statystyki więc nie warto znać ich na pamięć, jednak warto się dowiedzieć jak wyliczyć wartość kwantyla dla danych parametrów numerycznie. Niestety, widzimy, że wzór (1) zawiera funkcję błędu Gaussa. Użyjemy, Sage-a.

Poeksperymentujmy z kwantylami!

Wartości numeryczne różnych wartości rozkładu normalnego (i nie tylko), można otrzymać w następujący sposób:

Teraz, sprawdźmy, że rzeczywiście wycałkowanie funkcji gęstości od minus nieskończoności do \(k\) daje 0.05:

Kwantyl możemy obliczyć nie tylko dla normalnej zmiennej losowej. Załóżmy, że mamy pewną liczbę (np. 100 000) realizacji zmiennej losowej w wektorze \(X\). Jeżeli posortujemy te wartości rosnąco i weźniemy element o indeksie \(5\% \times 100000 = 5000\), to będziemy mieli wartość zmiennej losowej, poniżej której znajduję sie 5% „populacji” wyników losowania. Oczywiście, jeśli liczba losowań nie będzie podzielna przez 20, to musimy np. zaokrąglić. W numpy mamy przydatną funkcję np.percentile, która oblicza kwantyl z danego wektora danych. Nazwa sugeruje, że podajemy na wejsciu \(p \times 100\%\). Sprawdźmy sami:

Przy małej liczbie danych widać pewne różnice pomiędzy np.percentile a naszą procedurą, wynikającą ze sposobu interpolacji. Warto też zauważyć, że jeśli dysponujemy małą próbką danych, to wyznaczenie kwantyla obarczone jest dużym błędem. W szczególności jeśli mamy próbkę o liczebności 100 (co w analizie danych finansowych nie jest rzadkie) to kwantyl rzędu 0.01, ma taką samą wariancję jak badana zmienna losowa, i jego wartość będzie tego samego rzędu co do wielkości jak wariancja. Fakt ten znacznie rzutuje na wybór metod obliczeniowych stosowanych w analizie wartości zagrożonej.

Warto też nadmienić, że wartość kwantyla dla dowolnego poziomu można odczytać w arkuszu kalkulacyjnym (np. OpenOffice, Excel, Arkusze Google) w funkcji: NORMSINV.

15.3. VaR - metody obliczania

Wartość zagrożona (wartość narażona na ryzyko, Value at Risk, VaR) w chwili t jest to taka strata wartości rynkowej portfela, że prawdopodobieństwo osiągnięcia jej lub przekroczenia w rozpatrywanym okresie (t,) równe jest zadanemu poziomowi tolerancji \(\alpha\).

Literatura ; Jorion P., Value at Risk, 2nd edition, McGraw-Hill, 2001, Krzysztof Piontek, Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń - http://www.kpiontek.ue.wroc.pl/testyVaR.pdf

Powyższa definicje można zapisać w następujący sposób:

Prawdopodobieństwo tego że wartość portfela pod koniec okresu będzie nie mniejsza niż wartość portfela na początku okresu pomniejszona o VaR jest równa \(\alpha\).

Taka jest istota VaRu. Jednak wyliczenie tej wielkości to problem praktyczny który nie jest realizowany jednakowo. Stosuje się bowiem w praktyce wiele metod aby oszacować tą wartość. Wartość zagrożona w odniesieniu do portfela na rynku kapitałowym czy instrumentu finansowego, jest to taka strata jego wartości rynkowej, że prawdopodobieństwo jej osiągnięcia lub przekroczenia w zadanym okresie równe jest przyjętemu poziomowi tolerancji \(\alpha\). Zazwyczaj przyjmuje się:

\[\alpha = (0.01,0.05),\]

przy czym im jest on niższy, tym wyższa jest wartość VaR. Tak wiec przyjmuje się najczęściej praktycznie przyjmowane prawdopodobieństwo przekroczenia VaR wynosi 5% lub 1%. Oczywiście, zakładamy typowe warunki rynkowej zmienności cen, znane z historii. Jest to pierwsze z założeń jakie są przyjmowane. Można by dyskutować czy warunki z okresu lat 2003 - 2005 można zastosować do sytuacji rynku w roku 2007, albo czy dane z okresu 1925_1928 będą reprezentatywne do tego co rynek pokazał pod koniec października 1929roku, czyli w początku Wielkiego Kryzysu.

15.3.1. Metody wariancji - kowariancji

Bez względu na metodę, Value at Risk - miarę straty można wyrazić jako wartość absolutną lub jako jej procentową wielkość w stosunku do wartości bazowej, bądź w odniesieniu do wartości średniej portfela.

Omawianie tych metod zacznijmy od przykładu portfela składającego się z pojedynczego aktywa. Wartość rynkowa aktywa zmienia się rynkowo w czasie. Jest ona większa lub mniejsza. Trend jest raczej trudny do przewidzenia. Często zakładamy, że ruch cen to ruch Browna. Duże zmiany wartości są rzadsze niż mniejsze. Obserwując zmiany cen w dłuższym okresie możemy zauważyć, że duże zmiany są mało prawdopodobne a ekstremalnie duże, wręcz niemożliwe. Decydując jak bardzo mało prawdopodobne są to zmiany decydujemy jakie skoki są praktycznie niemożliwe czyli jakie straty portfela są bardzo mało prawdopodobne ( lub nawet niemożliwe). Wybrany poziom prawdopodobieństwa to poziom tolerancji. Mówimy tutaj o ufności a właściwie poziomie ufności.

Jeśli poziom tolerancji czyli prawdopodobieństwo przekroczenia to \(\alpha\), to poziom ufności \(c\) jest równy \(1-\alpha\).

Wartość VaR dla portfela składającego się z jednego aktywa jest funkcją:

• wartości ( mierzonej w pieniądzu) portfela

• zmienności ceny aktywa, mierzonej jako odchylenie standardowe

• poziomu tolerancji

• horyzontu czasowego.

Jeśli staramy się określić VaR dla kolejnego, jednego dnia możemy przyjąć założenie, ze średnia zmian dla jednego dnia wynosi zero.

Dla portfela jednego aktywa i jednego dnia zmian VaR wynosi:

(2)\[VaR = W \times \sigma \times k,\]

gdzie:

\(W\) - wartość portfela w dniu poprzednim (w okresie poprzednim)

\(\sigma\) - odchylenie standardowe ceny aktywa

\(k\) - liczba odchyleń standardowych poniżej średniej

odpowiadające \(\alpha\) kwantylowi wystandaryzowanego rozkładu normalnego.

Dla poziomu ufności \(95\%\), \(c=0.95\) czyli \((1-c)\) jest piątym kwantylem (czyli 5%) standardowego rozkładu normalnego. Odpowiadająca temu wartość \(k = -1.645\), a gdy \(1- \alpha = 0.99\), to \(k = -2.326\).

Przykład

Mamy portfel o wartości 100000 jednostek pieniężnych składający się z akcji spółki „Reflex. SA.”. Załóżmy, że odchylenie standardowe dziennego zwrotu na tych akcjach wynosi 0.0251 ( 2.51%) dziennie.

Chcąc wiedzieć z pewnością 95% jaki jest VaR naszego portfela prowadzimy wyliczenia następująco:

\[W \times \sigma \times k.\]

Czyli:

\[100 000 \times 0.0251 \times -1.645 = -4128.95\]

Znaczy to, że posiadając taki portfel w ciągu następnego dnia istnieje 5% szans na to, że straty portfela mogą wynieś 4129 jednostek pieniężnych lub więcej. Czyli wartość portfela może spaść poniżej 95871 jednostek pieniężnych.

15.3.1.1. Poszerzenie na więcej niż jeden okres czasowy

Aby wycenić wartość VaR w czasie więcej niż jeden dzień (okres czasowy), korzysta się z zależności odchylenia standardowego od czasu.

Odchylenie standardowe po t okresach (np. dniach) jest równe odchyleniu standardowemu dziennemu (jednego okresu) razy pierwiastek z ilości okresów. Zachodzi to oczywiście, jeżeli procesy zmiany ceny w każdym z okresów są niezależnymi od siebie normalnymi zmiennymi losowymi o tych samych parametrach.

(3)\[\sigma_t = \sqrt{t} \sigma_1,\]

gdzie

\(t\) - oznacza ilość okresów( dni)

\(\sigma_t\) - oznacza odchylenie standardowe dzienne ( jednego okresu)

\(\sigma_1\) - oznacza odchylenie standardowe po t okresach ( dniach).

Czyli jeśli chcemy znać VaR naszego portfela w ciągu miesiąca na poziomie 95% pewności (przyjmuje się średnio jako 22 dni robocze) wyliczamy:

\[VaR = 100000 \times 0,0251 \times 1.645 \times \sqrt{22} = 19 366.5 \text{ jednostek pieniężnych}\]

Należy jeszcze uogólnić sytuacje na przypadek, gdy że średnia wartość rozkładu zmiany ceny w danych okreśie jest niezerowa. W takim przypadku kwantyl jest równy:

(4)\[R\alpha = \mu - k\sigma\]

Czyli VaR jest równy:

(5)\[VaR = (\mu - k\sigma ) W\]

Gdzie

\(W\) - wartość portfela

\(\mu\) - średnia wartość rozkładu

\(\sigma\) - odchylenie standardowe stopy zwrotu

\(k\) - stała rozkładu

15.3.1.2. Portfel składający się z wielu aktywów

Co jeśli w naszym portfelu znajduje się więcej niż jedno aktywo? Wtedy należy uwzględnić istnienie korelacji miedzy zachowaniem się aktywów.

Uwzględnienie korelacji prowadzi do stosowania tych samych elementów jak teorii portfela której autorem jest Markowitz. Z tej teorii wiadomo, że ryzyko portfela zmniejsza jego dywersyfikacja i taki efekt powinna odzwierciedlać również miara ryzyka jaką jest VaR.

Aby wyliczyć wartość VaR takiego portfela należy dodatkowo określić:

• wagę aktywa w portfelu (jego udział w wartości portfela), udział jest bowiem ważony kapitałem

• odchylenie standardowe stopy zwrotu każdego z aktywów portfela

• korelacje miedzy stopami zwrotu każdego aktywa portfela.

Czyli VaR dla portfela aktywów o cenach danych przez wektor \(x_i\) może być opisany przez unormowany do jedności wektor:

\[\mathbf{w} = (w_1,w_2,...,w_n).\]

Wartość portfela wyraża się przez:

\[W = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i\]

Uwaga

Wartość portfela jest więc liniową funkcją (kombinacją) parametrów rynku. To założenie nie zawsze jest spełnione, jeśli w portfelu mamy instrumenty takie jak opcje czy kontrakty terminowe to ich wartość zależy w pewnien nieliniowy sposób np. od wartości stóp procentowych czy cen instrumentów bazowych.

VaR jest dany przez taki sam wzór:

(6)\[VaR = (\mu_P - k\sigma_P ) W\]

jednak wartości \(\mu_P\) i \(\sigma_P\) są odpowienio: średnią wartością oraz odchyleniem standardowym całego portfela. Niech ceny aktywów będą dane jako wektor \(\mathbf{\mu} = (\mu_1,\mu_2,...,\mu_n)\). Zakładając, że mamy do czynienia z gausowskimi zmiennymi losowymi, średnie odchylenie i wartość portfela dane są przez:

(7)\[\begin{split}\sigma_P = \mathbf{w^T} \Sigma \mathbf{w} \\ \mu_P = \mathbf{w} \mathbf{\mu}\end{split}\]

Uwaga

Liniowa kombinacja zmiennych gaussowskich ma rozkład Gaussa więc zakładając, że mamy normalne rozkłady zmian cen będziemy mogli opisywać rozkład wartości portfela przez (7)

Wielowymiarowy rozkład stóp zwrotów składników portfela (wymiarowość jest określona przez liczbę składników) jest więc wielowymiarowym rozkładem normalnym o wektorze średnich \(\boldsymbol{\mu}\):

(8)\[\begin{split}\boldsymbol{\mu} = \left[\begin{array}{c} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \ldots \\ \mu_n \end{array}\right]\,,\end{split}\]

i macierzy kowariancji danych \(\boldsymbol{\Sigma}\):

(9)\[\begin{split}\boldsymbol{\Sigma}\ =\ \left[\begin{array}{cccc} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \ldots & \sigma_{1n} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \ldots & \sigma_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \ldots & \sigma_{nn} \end{array}\right]\,\end{split}\]

gdzie \(n\) jest liczba składników portfela.

Wartości \(\mu_P\) oraz \(\Sigma_P\) możemy wyliczyć korzystając z wektora dryftu i macierzy kowariancji danych.

(10)\[ \begin{align}\begin{aligned}\boldsymbol{\Sigma} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_{ij}\\\boldsymbol{\mu} = \sum_{i=1}^{n} w_i \mu_{i}\end{aligned}\end{align} \]

Zaś \(\mu\) oraz \(\sigma\) są określone przez powyższy wektor \(\boldsymbol{\mu}\) i macierzą \(\boldsymbol{\Sigma}\). Po podstawieniu ostatnich dwu wzorów do wzoru (5) obliczyć można VaR. Powyższe podejście nosi nazwę metody wariancji-kowariancji.

Przykład

Niech portfel o wartości początkowej 100000 składa się z dwu składników jednego o wadze 60% i odchylenie standardowym 1% i drugiego o o wadze 40% i odchyleniu 2% oraz współczynnik korelacji między nimi niech wynosi 0.4.

Przypomnijmy, że współczynnik korelacji dla dwóch zmiennych losowych \(X,Y\) wiąże się w następujący sposób z elementem pozadiagonalnym macierzy kowariancji:

\[\rho_{XY} =\frac{\langle XY \rangle}{\sigma_X \sigma_Y}\]

Dla takich danych:

(11)\[\sigma_P = \sqrt{w_X^2\sigma_X^2+w_Y^2\sigma_Y^2 + 2 w_X w_Y \rho \sigma_X \sigma_Y }\]

15.3.2. Metody symulacji historycznej

Metoda ta sprowadza się do wykorzystania historycznych stóp zwrotu instrumentu finansowego (np. portfela akcji). Najczęściej przyjmuje się dzienne historyczne stopy zwrotu. Obserwuje się stopy przez pewien (odpowiednio długi) okres czasu, przykładowo 1 rok - czyli około 225 obserwacji- z dni transakcyjnych. Historyczne stopy zwrotu pozwalają określić empiryczny rozkład. Umożliwia to oszacowanie kwantyla rozkładu i wyznaczenie wartości ryzykownej. Skuteczność symulacji historycznej jest uwarunkowana niezmiennością stóp zwrotu w przyszłości w stosunku do danych historycznych. Stąd korzysta się z n obserwacji objętych badaniem według formuły:

(12)\[R_t = \sum_{i=1}^n w_i R_{it}\]

W ten sposób zostaje wygenerowany rozkład statystyczny stóp zwrotu. Wyznaczenie odpowiedniego kwantyla tego rozkładu pozwala na wyliczenie VaR bezpośrednio z definicji, czyli wg. pokazanych w poprzednich metodach zasad. Tym razem nie zakłada się, że rozkład jest rozkładem normalnym oraz unika się szacowania parametrów takich jak średnia czy odchylenie standardowe korzystając z danych historycznych.

15.3.3. Metoda symulacji Monte Carlo

W metodzie Monte Carlo przyjmuje się pewien model kształtowania się cen rynkowych aktywa. Wybór modelu zależy od autorów, ich doświadczenia praktycznego czy teoretycznego. Niemniej jednak musi on zostać starannie sprawdzony na danych historycznych czy rzeczywiście charakteryzuje właściwie zachowania się danych rynkowych instrumentu finansowego. Następnie generuje się wiele (tysiące) obserwacji stóp zwrotu instrumentów finansowych tworzących portfel. Otrzymuje się, w ten sposób rozkład stóp zwrotów z portfela. Wyznaczenie odpowiedniego kwantyla tego rozkładu prowadzi do obliczenia VaR.

Schemat obliczeń Monte Carlo jest następujący:

• obliczamy parametry procesu zmian parametrów od których zależy cena portfela - tzn. średnią i macierz kowariancji

• konstruujemy wektor zmiennch losowych o wcześniej obliczonych parametrach

• dla każdej wartości tego wektora, obliczamy wartość przyszłą indeksów a następnie wartość portfela

• wyliczmy odpowiedni kwantyl rozkladu wartości portfela.

Pojawia się praktyczne pytanie - jak mając standardowy generator niezależnych liczb pseudolosowych o rozkładzie normalnym (\(N(0,1)\)) wygenererować wektor o zadanej średniej i kowariancji. Wartość średnia to nie jest problem, bo wystarczy dodać żądaną średnią do wektora o zerowej średniej. Natomiast, aby wynikowy wektor miał pożądane korelacje należy pomnożyć go przez pierwiastek z macierzy kowariancji.

Rzeczywiście, niech:

\[x_i = \mu_i + \sqrt{S_{ik}}N_k(0,1)\]

wtedy:

\[\langle x_i x_j \rangle = \left\langle \left( \mu_i + \sqrt{S_{ik}}N_k(0,1) \right) \left( \mu_j + \sqrt{S_{jl}}N_k(0,1)\right) \right\rangle\]

wymnażamy dwa nawiasy i otrzymujemy sumę średnich następujących składników, które się upraszczają do:

\[\langle \mu_i \rangle \langle \mu_j \rangle = \mu_i \mu_j\]

zmienna losowa \(N_i(0,1)\) ma średnią zero więc mamy:

\[\langle \sqrt{S_{ik}}N_k(0,1) \mu_j \rangle = 0\]

\[\langle \sqrt{S_{jl}}N_l(0,1) \mu_i \rangle = 0\]

i ostatni wyraz zawiera:

\[\begin{split}\langle \sqrt{S_{ik}}N_k(0,1) \sqrt{S_{jl}}N_k(0,1) \rangle \\\end{split}\]

Wykonując średniowanie, widzimy, że ponieważ zmienne \(N_i(0,1)\) są niezależnie i zachodzi

\[\langle N_k(0,1) N_l(0,1)) \rangle = \delta_{kl}\]

to ostatecznie otrzymujemy:

\[\langle x_i x_j \rangle = \mu_i\mu_j + \sqrt{S_{ik}}\sqrt{S_{jl}}\delta_{kl} = \mu_i\mu_j + S_{ij}\]

czyli:

\[\langle x_i x_j \rangle - \mu_i\mu_j = S_{ij}\]

15.3.3.1. VaR z uwzględnieniem wartości ekstremalnych - „Grube ogony rozkładu”

Dokładna analiza stóp zwrotu doświadczalnych, czasowych szeregów finansowych pozwala stwierdzić, że to co dość często było w powtarzane, czyli o rozkładzie normalnym jako modelu, w wielu przypadkach jest nieprawdą. Większość szeregów finansowych wykazuje: istnienie „ grubych ogonów” czyli tego, że prawdopodobieństwo pojawienia się skrajnych wartości, czy bardzo dużych zmian jest wyraźnie większe niż w przypadku rozkładu Gaussa.

Wykresy rozkładów zwrotów pokazują, że duże zmiany występują znacznie częściej niż przewiduje to rozkład normalny, natomiast mniej jest średnich zmian (wartości odchylających się od średniej od 0.5 do 2.5 odchyleń standardowych). W związku z powyższym konieczne jest poszukiwanie o nowych modeli. Na podstawie przeprowadzonych analiz ( np. Katarzyna Brzozowska-Rup, Wiesław Dziubdziela „Estymacja indeksu ogona wybranych szeregów finansowych za pomocą entropii Renyi’ego”. http://www.wne.sggw.pl/czasopisma/pdf/EIOGZ_2006_nr60_s69.pdf) oraz ( Ewa Miłoś- Finansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 1 www.e-finanse.com Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie) wykazać można, że w wielu zjawiskach wartości ekstremalne pojawiają się zgodne z rozkładami potęgowymi. W obliczeniach VaR skupiamy się na poziomie ufności 99% zakładając, że strata się nie zdarzy. W modelach wartości ekstremalnych skupiamy się na tych niekorzystnych zdarzeniach, które mają bardzo małe prawdopodobieństwo wystąpienia ale mogą przynieść duże straty. Szczególnie w instytucjach ubezpieczeniowych istnieje potrzeba analizy zjawisk katastrof.

Rozkłady wykazujące cechy „ grubych ogonów to przykładowo rozkład t- Studenta, Pareto, etc. Modele rozkładów jakie stosowane są w analizach i szacowaniach VaR opisane są przykładowo (Tomasz Bałamut- Metody estymacji Value AT Risk - NBP- Materiały i studia; zeszyt 147; 2002r.)

15.3.4. Nieliniowa funkcja wyceny

W przypadku, gdy portfel składa się z instrumentów podstawowych, to jego wartość jest liniową funkcją cen składników. Może się jednak zdarzyć, a dzieje się to często w praktyce, że nasz portfel zawiera instrumenty, które w nieliniowy sposób zależą od parametrów rynku. W takim przypadku metody: historyczna i Monte-Carlo mogą być zastosowane bez większych modyfikacji, jednak metoda wariancji-kowariancji musi być zmodyfikowana.

Niech wartość portfela będzie funkcją \(P(x_1,x_2,...,x_n)\) parametrów rynku \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\). Załóżmy, że znamy wartość tych parametrów dzisiaj: \(\mathbf{x_0}\) i chcemy dowiedzieć się jak zmieni się wartość portfela do jutra. Niech przyrosty zmiennych będą dane przez proces:

(13)\[\mathbf{dx} = \mathbf{\mu} dt + \sqrt{\mathbf{S} dt}N(0,1)\]

gdzie \(dt,S\) to przedział czasu i macierz kowariancji przyrostów procesu na tym przedziale.

Zakładamy więc, że przyrosty indeksów \(\mathbf{dx}\) w okresie \(dt\) są skorelowanymi zmiennymi gaussowskimi. W metodzie wariancji-kowariancji dla liniowej funkcji wyceny, to założenie implikowało normalność rozkładu wartości portfela. Nie jest to jednak prawdą jeśli funkcja wyceny jest nielinowa. Możemy jednak wyznaczyć parametry rozkładu normalnego, który jak najlepiej przybliża rzeczywisty rozkład wartości portfela.

W tym celu, naturalnym wydaje się być zlinearyzowanie funkcji wyceny i zastosowanie wzorów (7). Popełnilibyśmy jednak duży błąd. Pamiętajmy, że jeżeli chcemy otrzymać wynik, który jest rzędu pierwszego w \(dt\) to musimy uwględnić możliwość pojawienia się kwadratów członów \(\sqrt{\mathbf{S} dt}N(0,1)\). Innymi słowy musimy rozwinąć funkcję \(P(x_1,x_2,...,x_n)\) w szereg Taylora do drugiego rzędu włącznie, podstawić za przyrosty procesy (13) i obliczyć z takim rozkładem \(\mu_P\) oraz \(\sigma_P\), z dokładnością do \(dt\).

Ostatecznie odpowiedniki wzorów (7) przybiorą postać:

(14)\[\begin{split}\mu_P = \mu\mathbf{\nabla} P + \frac{1}{2}\mathrm{Tr}\left( \mathbf{H}(P) \mathbf{S}\right) dt\\ \sigma_P = \mathbf{\nabla} P \mathbf{S} \mathbf{\nabla} P^T dt\end{split}\]

gdzie:

• \(\nabla P\) - gradient wektora wartości portfela obliczony dla wartości początkowej \(\mathbf{x_0}\)

• \(H(P)\) - Hessian wektora wartości portfela obliczony dla wartości początkowej \(\mathbf{x_0}\)

15.3.5. Przykład obliczenia VaR

Uwaga

Poniższe komórki są od siebie zależne więc należy wykonywać poprzednie by działały kolejne.

Zaimportujmy sobie dane historyczne notować dwóch spółek, Comarch i Colian. W tym przypadku pliki z danymi mamy w publicznym katalogu serwisu Dropbox, ale mogą być to dowolne miejsca w sieci, dostępne poprzez www. Po zaimportowaniu, danych narysujemy historię notowań i ich dziennych zmian.

W tym stanie mamy dane historyczne dwóch aktywów w tabeli dataVAR, w której kolumny odpowiadają kolejnym aktywom, a rzędy kolejnym okresom czasowym.

Zdefiniujemy sobie teraz funkcję, która obliczy nam wartość portfela dla danych wartości parametrów rynku - valueP. Funkcja ta pobiera dwa argumenty, P - portfel, będący wektorem ilości aktywów (dwuelementowym w tym przypadku) oraz stan rynku m. Dodatkowa zabudowana jest funkcjonalność obliczenia wartości na pewnej historii rynku, wówczas zwracany jest wektor wartości portfela w tychże chwilach.

15.3.5.1. Metoda historyczna

Mając wczytane dane rynkowe oraz portfel w powyższy sposób, dość łatwo możemy sobie zaimplementowac metodę historyczną. W tym celu obliczamy przyrosty notowań, działając na macierz dataVAR funkcją np.diff względem rzędu. Następnie zapisujemy w pod nazwą hist_sim hipotetyczne kursy przyszłe aktywów, dla każdej wartości przyrostu. Pozostaje już tylko wycenić portfel dla nowych wartości rynku i wziąć piąty kwantyl.

15.3.5.2. Metoda wariancji kowariancji

W metodzie wariancji-kowariancji obliczamy najpierw wektor średni avg oraz macierz kowariancji Cov z dziennych zmian cen dataVAR. Następnie korzystając z formuł (7) obliczamy parametry portfela \(\mu_P\) i \(\sigma_P\) i wyliczamy odpowiedni kwantyl rozkładu normalnego w tymi wartościami.

15.3.5.3. Metoda symulacji Monte-Carlo

W metodzie symulacji Monte-Carlo postepujęmy podobnie jak w historycznej, z tą różnicą, że generujemy zestaw nowych cen nie z pomocą historycznie zaobserwowanych zmian, ale sztucznie wygenerowanych. Zakładamy, że zmiany parametrów rynku ( w tym przypadku - ceny dwóch aktywów) powodujące zmiany wartości portfela są wektorem normalnych zmiennych losowych, zadanym przez wektor średnich i macierz kowariancji. Te ostatnie, jak w poprzedniej metodzie obliczamy z dostępnej historii.

15.3.5.4. Porównanie wyników

Zauważmy, że VaR obliczony metoda wariancji-kowariancji i Monte Carlo - są do siebie badzo zbliżone. W rzeczywistości powinny one dawać w tym przypadku dokładnie tą samą wartość. Dlaczego? Zauważmy, że mamy liniową zależność wartości porftela od indeksów rynkowych. Oznacza to, że symulowany rozkład będzie normalny (jako liniowa kombinacja założonych w Monte Carlo normalnych rozkładów zmian indeksów. Najlepiej zobaczyć do na wykresie:

Porównajmy więc dopasowany rozkład normalny z tym który realizuje się w rzeczywistości - który możemy otrzymać przez znormalizowanie histogramu przyrostów historycznych:

Widzimy, że tu różnice są znaczne. Interpretując histogram danych rzeczywistych widzimy, że w praktyce mamy o wiele większe prawdopodobieństwo zajścia dużych fluktuacji niż przewiduje rozkład Gaussa.

15.3.5.5. VaR w systemie Risk Metrics

VaR jako miara ryzyka powstała przy opracowaniu systemu pomiaru ryzyka w J.P. Morgan na początku lat 90. Na ten system składa ( składała w przeszłości przy opracowywaniu systemu) się metodologia, zgromadzone dane dotyczące setek instrumentów na całym świecie i oprogramowanie pozwalające na wyliczenia VaR zgodnie z metodologia i zebranymi danymi. System powstał w celu wprowadzenie wystandaryzowanej miary ryzyka dla całej organizacji jaka jest J.P Morgan. Miara ta została oparta o analizę odchyleń zwrotów z danych instrumentów finansowych oraz zależności między nimi. Po publikacji systemu RiskMetricsTM przez J.P. Morgan, VaR stała się miarą powszechnie używaną w zarządzaniu ryzykiem finansowym, nie tylko w instytucjach finansowych. Miara ta została przyjęta przez Nadzór Finansowy jako regulacyjna metoda oceny ryzyka dla banków. Dotyczy to regulacji europejskich w tym polskich. Model podstawowy obliczania VaR stosowany przez RiskMetricsTM jest oparty o założenie, że zwroty są generowane w geometrycznym ruchu Browna. Jest to ogólnie mówiąc metoda wariancji - kowariancji.

15.3.6. Wady i zalety VaR-u

VaR to stosunkowo prosta w praktycznym działaniu metoda porównania ryzyka w przypadku instytucji działającej na rynku. Porównanie jest stosunkowo proste bo polega na porównaniu wielkości wyliczonych VaR dla proponowanych portfeli. Wielkość ta wyrażona jest w pieniądzu i jest konkretną liczbą. Interpretacja i porównanie jest więc proste. Pozwala na łatwiejsze zarządzanie ryzykiem pojedynczego portfela jak i na wyższych szczeblach zarządzania ryzykiem działu czy całej instytucji. Pozwala na oszacowanie wielkości i tworzenie rezerwy kapitałowej na wypadek strat. Jest metoda uznaną przez Nadzór Finansowy. Nie jest to jednak wartość idealna.

Wady jej biorą się z założeń stosowanych modeli do wyliczeń VaR. VaR jest liczony dla „ normalnych” warunków rynku. Normalny rynek to rynek danych historycznych. Jeśli tylko rynek odchodzi od „ normalności”, model może zawieść. Jak wykazuje historia rynków zachowanie typowe rynków występuje od czasu do czasu. Czy rynek w okresie 2004 - 2005 jest typowym rynkiem dla wycen w roku 2007? W przypadku niepokojów na rynkach, rynki zachowują się „nietypowo” a straty wtedy są szczególnie duże. Przy gwałtownych zmianach na rynku VaR może być zawodny.

Liczenie VaR-u może być pracochłonne ( wyliczenia VaR portfeli metodą Monte Carlo).

Główny wpływ na jakość wyników VaR ma estymacja zdarzeń i trafność doboru modeli. Istnieją lepsze, alternatywne metody pomiaru ryzyka np. oczekiwana wartość strat większych od VaR w danym przedziale czasowym czyli warunkowa wartość oczekiwanych strat

Podsumowując warto podkreślić. Jest to najbardziej popularne obecnie narzędzie oceny ryzyka. Jednakże, żadne narzędzie używane w finansach nie jest rynkowo neutralne. VaR jest uproszczeniem modelowym rynku. Zależy od jakości tego uproszczenia. „Modelowa matematyczność” wyceny oraz ustalenie poziomu ufności VaR na stosunkowo wysokim poziomie, powoduje złudzenie posiadania kontroli, podczas gdy należy mieć duży szacunek do rynku, oraz pamiętać, że zerowe prawdopodobieństwo nie istnieje.

15.3.6.1. Słabości VaR

W praktyce, co wynika po części z uregulowań prawnych, określanych przez instytucje nadzorujące rynek, wartość zagrożona (VaR) jest jedną z szerzej stosowanych miar ryzyka. Ma jednak pewne wady, z których największą, z punktu widzenia stosowania VaR w analizie portfelowej, jest to, że VaR nie spełnia warunku addytywności. Oznacza to, iż VaR policzona dla zdywersyfikowanego portfela może być większa niż suma VaR-ów wyznaczonych dla instrumentów składowych. Tylko w przypadku współczynnika korelacji równego lub mniejszego od 0 warunek addytywności jest spełniony. Ale taka sytuacje zachowania \(\sigma\) już znamy z analizy portfela, a dokładnie dywersyfikacji wg. Markowitza.

Należy ponownie zwrócić uwagę na jeszcze jedno przyjęte założenie. Założono, że rozkłady zmiany cen są rozkładem normalnym, lub do niego zbliżonym. W rzeczywistości rozkłady doświadczalne zmian cen aktywów finansowych często nie odpowiadają rozkładowi normalnemu. W praktyce, rzeczywiście, większość zmian cen oscyluje wokół wartości oczekiwanej, ale występują jednak częściej (niż w rozkładzie normalnym) zmiany ekstremalne. Zmiany te charakteryzują występowanie tzw. „grubych ogonów” rozkładu, co wpływa na zwiększenie zmienności i nie jest ujmowane w VaR, w sposób adekwatny. Przyjęcie założenia o rozkładzie normalnym zmian wartości ułatwia jednak obliczeniach znacznie zmniejsza koszty pomiaru ryzyka.

Nadzorcy rynku, mimo, że formalnie uznają VaR jako narzędzie zarządzania ryzykiem pozwalające na określenie wielkości rezerwy tworzonej na wypadek ewentualnej straty to wielkość tej rezerwy wymaganej przez Nadzór jest większy zazwyczaj od wyliczonego tak jak powyżej o współczynnik - \(a\) i zwiększając rozmiar tej rezerwy \(a\) razy.

15.3.7. Analizy Scenariuszy

Jak to już było podkreślane Var jest prostą miarą ryzyka. To pewna wartość pieniędzy, które mogą być „stracone” przy niekorzystnej sytuacji zmienności rynku. Pierwsze co wydaje się koniecznym do zrobienia to weryfikacja otrzymanych wyników w ujęciu historycznym.

Sposób myślenia zwany z angielska „back testing” czyli porównanie historyczne

Mając już opracowany model i sposób liczenia Var dla portfela warto popatrzeć wstecz jak wyliczony z metody i modelu VaR miał się do rzeczywistych wyników. Warto popatrzeć na np. 100 ostatnich wyliczeń VaR ( np. . 95%, jednodniowego) i porównać ten wynik z rzeczywistymi stratami portfela w tym okresie. Interesujacym jest odpowiedź na pytanie czy wyliczony VaR był przekraczany w przeszłości i jak często.

Jeśli wyliczany VaR jest systematycznie za niski znaczy to, że przyjęty model nie dowartościowuje ryzyko i dlatego straty portfela przekraczają VaR. Znaczy to, ze należy zwiększyć „mnożnik“ dla liczenia wymogów kapitałowych. Jeśli VaR jest „za wysoki“ model przecenia ryzyko i wymagany kapitał jest może być za duży (czyli - za drogi).

Kolejne kryterium analizy to Analiza Czułości. Znając skład portfela powinniśmy wyliczyć na jakie zmiany i jakich wielkości jest szczególnie czuły nasz portfel. Takiej analizie służy zróżniczkowanie równania na wartość portfela w zależności od zmiennych rynkowych. O ile analiza czułości daje dobre wyniki dla niewielkich zmian rynku to jeśli mamy do czynienie z warunkami kryzysowymi to nie jest dobrą aproksymacją ryzyka.

„Stress testing” to metoda testowania w warunkach znacznych zmian otoczenia rynkowego. W stress testing, stosujemy duże zmiany czynników, i wyliczamy dla nich wartość portfela. Celem stress testing pokazanie w jasny sposób, co się może wydarzyć z ryzykiem i z czym będzie trzeba się zmierzyć. Przykładowo, typowe zdanie z stosowania metody stress testing może być „jeśli stopy procentowe wzrosną o 2%, możemy stracić $15 millionów; jeśli wzrosną o 4%, stracimy $28 millionów.”

Zazwyczaj, ruchy rynku podaje się w sposób standaryzowany, aby były lepiej rozumiane w firmie. Na przykład, zmiany cen akcji przy zmianie o -20%, -10%, oraz +10% i +20% . Zasadnym jest podjęcie decyzji które dane będzie grupować razem co będzie lepiej ilustrowało problem.

„Metoda” scenariuszy awaryjnych””.

Stress testing i analiza scenariuszy są podobnymi metodami i są stosowane celem wyliczenia co się może wydarzyć w określonej sytuacji na rynku. Jednakże, w metodzie stress testing, zmiany czynników ryzyka są zazwyczaj podobne i są niejako typowe i obiektywne. W analizie scenariuszy, zmiany są dobrane subiektywnie i celowo. W metodzie scenariuszy awaryjnych, używa się takich danych by stworzyć kilka scenariuszy – najgorszego przypadku. Każdy scenariusz odpowiada szczególnemu przypadkowi kryzysu rynku, np. kryzys USA 2007, upadek gospodarki Chin, podniesienie cen przez OPEC, wstrzymanie eksportu surowców energetycznych przez Rosje, itd . Zazwyczaj wybiera się 5- 10 najgorszych scenariuszy.

Scenariusze zazwyczaj bazują na: poprzednich kryzysach, aktualnym portfelu firmy, opiniach ekspertów (scenariusze zazwyczaj proponują: Risk Menedżer, szefowie pionów etc.). Biorąc pod uwagi ubiegłe kryzysy, porównuje się dane historyczne z różnych rynków i sprawdza się co by się stało gdyby aktualnie to się nam przydarzyło dziś. Przykładowo, jeśli 20% spadek w jeden dzień na rynku U.S.A. ( co miało miejsce w1987), wydarzył by się na rynkach euro?? Scenariusz konfliktu zbrojnego etc.

Tak wiec, oprócz formalnego liczenia VaR dla statystycznych danych metoda powinna zostać przetestowana tak jak opisano powyżej i wyliczenia dla scenariuszy powinny uzupełniać formalne, codzienne wyliczenia VaR.

Taki zestaw analiz pozwala na lepsze zrozumienie ryzyka.

Footnotes

1

VaR jest to konstrukcja oparta o statystykę rynków czyli zdarzeń statystycznie najczęściej występujących czyli mimo, że w 99 % sytuacji jest wspaniałym wynalazkiem, to niestety kiedy mamy do czynienie z ekstremalną sytuacją, VaR jest mało użyteczny. Stratę bowiem liczy się, jako utratę wartości liczoną według zasady Mark-to-Market. Znaczy to, że realna strata w przypadku katastrofy rynkowej jest z reguły dużo wyższa. Powodem tego jest: płynność (a raczej jej brak w sytuacji kryzysowej) i bezwzględność konkurencji. Innymi słowy; strata, realizowana przy zamykaniu pozycji, w wyniku braku płynności na rynku, może być dużo wyższa. Ponadto, konkurencja może straty pogłębić, jeszcze bardziej np. zwiększając podaż.)