Transmisja impulsów nerwowych: Model Hodgkinga-Huxleya

Wstęp: Podstawowe informacje

Aktywnością organizmu i koordynacją jego czynności steruje układ nerwowy, który funkcjonuje na zasadzie przekazywania sygnałów z jednej komórki nerwowej do innych komórek nerwowych lub do komórek mięśniowych albo gruczołów. Układ nerwowy ma wśród innych narządów i układów ustroju pozycję centralną i jest ich administratorem i koordynatorem. Każda bowiem czynność czy zadanie wykonywane przez określony narząd lub układ narządów, pozostaje pod jego ścisłym nadzorem. Za pośrednictwem zmysłów, z którymi jest bezpośrednio - anatomicznie i fizjologicznie - związany, układ nerwowy zapewnia ustrojowi możliwość komunikowania się ze światem zewnętrznym. Potrafi odbierać z zewnątrz najrozmaitsze bodźce (sygnały, informacje), przewodzić je do własnych ośrodków odczytujących ich treść, selekcjonować i wreszcie - przetwarzać w zrozumiałe dla siebie pojęcia i wyobrażenia oraz wydawać polecenia zwrotne. Układ nerwowy człowieka w ciągu jednej sekundy odbiera z otoczenia aż 109 bitów informacji. Warto przy tym pamiętać, że do świadomości dociera jednak minimalna ich część, bo jedynie 102 bitów/s. To oznacza, że przytłaczająca większość informacji dociera do mózgu i jest tam przetwarzana w sposób całkowicie nieświadomy.

Układ nerwowy jest zbudowany z 2 rodzajów komórek:

1. nerwowych

2. glejowych.

Komórki glejowe pełnia rolę pomocniczą, tzn. fizjologiczą. Komórki glejowe współtworzą barierę krew-mózg, pełnią istotną rolę w odżywianiu komórek nerwowych składnikami odżywczymi transportowanymi układem krążenia, syntetyzują wiele istotnych enzymów używanych m.in. do wytwarzania neuroprzekaźników, tworzą osłonki mielinowe aksonów, a nawet pełnią funkcje ochronne.

Komórki nerwowe pełnią rolę zasadniczą. Reagują one na bodźce zewnętrzne i wewnętrzne, a następnie przesyłają je do jednostek wykonawczych organizmu. Powstanie bodźca w organizmie jest odpowiedzią na działanie czynników zewnętrznych takich jak światło, dźwięk, temperatura, ciśnienie, związki chemiczne smakowe i zapachowe. Za odbiór tych czynników odpowiedzialne są komórki receptorowe: chemoreceptory (węchowe, smakowe), fotoreceptory (pręciki, czopki) i mechanoreceptory (komórki rzęsate).

Komórką układu nerwowego jest komórka nerwowa - neuron. Neuron jest podstawową jednostką przetwarzania informacji w mózgu. To właśnie ta komórka charakteryzuje się zdolnością do wytwarzania, przekazywania, odbierania i przetwarzania specyficznych sygnałów elektrochemicznych, którym przypisuje się istotne znaczenie w przetwarzaniu informacji o otoczeniu i podejmowaniu decyzji dotyczących reakcji.

Powyższy obraz neuronu ukazuje jego uproszczoną budowę. Brakuje tu zaznaczonego jednego ważnego elementu: synapsy, która jest miejscem komunikacji błony kończącej akson z błoną komórkową następnej komórki nerwowej. Ale tam gdzie jest oznaczenie „Zakończenie aksonów” znajduje sie własnie synapsa (co z greckiego oznacza połączenie). W synapsach neurony prawie się stykają . W synapsach elektrycznych przerwa wynosi tylko 2 nanometry. W synapsach chemicznych jest to odlegołość 20 nanometrów.

Neurony połączone są ze sobą wzajemnie tworząc sieci, dzięki którym realizowane są funkcje inteligencji, emocji, pamięci i zdolności twórczych. Pojedynczy neuron przyjmuje pobudzenie od ogromnej liczby innych neuronów dochodzącej do tysiąca. Szacuje się, że w mózgu człowieka jest około 10 ¹¹ neuronów, które oddziałują na siebie poprzez około 10 ¹⁵ połączeń.

Oto jak w uproszczeniu wygląda schematu propagacji impulsów :

—–> dendryty ——> ciało komórki ——> akson ——> synapsa —–> dendryty ——>

Dendryty są łącznikiem z innymi komórkami (dokładniej z aksonami innych neuronów). Otrzymują impulsy od wielu (od kilku do wielu tysięcy) komórek. To jest znak, że jest jakiś bodziec. Ten bodziec w postaci impulsu elektrycznego propaguje się wzdłuż komórki nerwowej od dentrydów poprzez ciało komórkowe i akson do synapsy. Ale impuls musi mieć minimalną wielkość (amplitudę) aby mógł przekazać informacje do następnej komórki. Model propagacji takiego impuslu będzie opisany poniżej.

Model propagacji impulsu

Gdy dendryt odbierze jeden z bodźców z drugiej strony synapsy oddzielającej akson od dendrytu, przez błonę dendrytu zaczynają przepływać miniaturowe prądy elektryczne. Zazwyczaj są to prądy wpływające do wnętrza dendrytu, określane jako pobudzające. Prądy mogą także wypływać na zewnątrz komórki i wtedy nosza nazwę prądów hamujących. Zarówno dodatnie jak i ujemne wahania prądu, powstające w błonach dendrytów, przepływają do ciała komórkowego. Jeżeli ich suma jest niewielka, prądy takie zanikają i nie uruchamiają dalszych procesów. Jednak jeśli w wyniku ich dodawania zostanie przekroczona określona wartość progowa, to generowany jest tzw. potencjał czynnościowy propagujący się wzdłuż aksonu i komórka nerwowa wyśle wiadomość do innych neuronów. To działa prawie tak jak komputer: jest impuls lub nie ma impulsu. Jeżeli jest impuls to jest na plus (czyli +1), jeżeli nie ma impulsu to jest na minus (czyli -1). Logika 2-wartościowa (+1, -1) potrafi zrobić wszystko: potrafi zakodować wszelkie informacje, potrafi wykonywać skomplikowane operacje, ba potrafi się nawet uczyć (są takie algorytmy) . Na tym polega cud działania komórek nerwowych. I nie jest to cud boski, ale zupełnie (przy)ziemski, prozaiczny, prawie banalny (co nie oznacza, że rozumiemy jak działa mózg). Model stworzony przez angielskich uczonych Hodgkina i Huxleya w 1952 roku opisuje to w sposób jakościowy.

Neuron i jego otocznie wypelnione jest płynem zawierajacym jony: potasu (K+ ), sodu (Na+ ), wapnia (Ca+2 ) i chloru (Cl− ). Pompy jonowe wypompowują z komórki jony sodu, a wpompowują jony potasu. Na zewnątrz komórki istnieje wysoka koncentracja Na+ , Cl− i Ca+2 . Wewnątrz istnieje wysokie stężenie K+ oraz ujemnie naładowanych molekuł. Membrana komórkowa, oprócz pomp jonowych, zawiera kanały jonowe. W stanie równowagi, zewnętrzna część błony komórkowej naładowana jest dodatnio, a wewnętrzna ujemnie. Różnicę potencjałów nazywamy potencjałem spoczynkowym. Typowo waha się on pomiędzy −90 mV a −65 mV. Jeżeli sygnał pobudzający neuron przekroczy wartość progową ̧, w neuronie nastąpi generacja tzw. potencjału czynnościowego o wartości około +40 mV i sygnał rozchodzi się w aksonie w postaci fali depolaryzacji i następującej po niej repolaryzacji o stałej czasowej 1 ms.

Przez \(V\) oznaczymy różnicę potencjałów pomiędzy wewnętrzną a zewnętrzną stroną ściany neuronu (to jest membrana!!). Gradient stężeń danego typu jonów „k” powoduje powstanie różnicy potencjałów \(E_k\) (nazywanego potencjałem Nernsta). Wypadkowym potencjałem jest \(V - E_k\) (tzw. potecjał elektrochemiczny). Z praw Ohma otrzymujemy relację dla natężenia prądu danego typu jonów:

\[I_k = \frac{V - E_k}{R_k} = G_k ( V - E_k)\]

gdzie \(G_k = 1/ R_k\) jest przewodnością (konduktancją) dla danego rodzaju jonów. W teorii tej nie używa sie pojęcia oporu \(R_k\) dla danego typu jonów, tylko wszyscy posługują się pojęciem przewodności (biofizycy wolą mnożyć przez G niż dzielić przez R). Całkowity prąd \(I = I(t)\) płynący przez membranę jest sumą składników pochodzących od każdego rodzaju jonów oraz od czasowej zmiany potencjału \(V\):

\[I = C \frac{dV}{dt} + G_{Na} ( V - E_{Na}) + G_{K} ( V - E_{Ka}) + G_{L} ( V - E_{L})\]

gdzie \(C\) jest pojemnością membrany (membrana jest jak dwie okładki kondensatora rozdzielone dielektrykiem i wówczas \(C=Q/V\), stąd ładunek \(Q=C V\), a natężenie prądu to zmiana ładunku w czasie, czyli \(dQ/dt = C dV/dt\)). Dla neuronu typowa wartość pojemności \(C/cm^2 = 1 \mu F/cm^2\). Symbol „L” odnosi się do pozostałych jonów które dają wkład do całkowitego prąd.

Z powyższego równania otrzymujemy równanie różniczkowe na zmianę potencjału w poprzek błony komórkowej (czyli membrany):

\[C \frac{dV}{dt} = I - G_{Na} ( V - E_{Na}) - G_{K} ( V - E_{K}) - G_{L} ( V - E_{L})\]

Pamiętajmy, że różnica potencjału w poprzek błony komórkowej (membrany) powstaje wskutek działania pompy potasowo - sodowej napędzanej przez procesy metaboliczne. Zmiany potencjału powodowane są zmianami przepuszczalności błony dla jonów potasu i sodu. Aktywne pompy jonowe w membranie stale przepychają jony poza komórkę i do wnętrza. Kanały jonowe mogą być zamknięte lub otwarte, zależnie od różnych czynników. Powoduje to zależność przewodności \(G_i\) od przepuszczalności kanałów jonowych i dlatego też zmiany przewodności to skutek łącznego efektu otwierania i zamykania wielu mikroskopowych kanałów jonowych w błonie. Każdy kanał ma kilka bramek. Jeżeli wszystkie bramki są otwarte, kanał przepuszcza jony. Jeżeli chociaż jedna bramka jest zamknięta, to kanał nie przepuszcza jonów. Możemy rozważać dwa stany bramki: bramka otwarta i bramka zamknięta. Stany te zmieniają się w czasie. Można to przedstawić schematycznie jako przejścia między stanami:

\[m \overset{ \beta_m} {\underset{\alpha_m} \longleftrightarrow} 1-m\]

Schemat jest podobny do kinetyki reakcji chemicznych scharakteryzowanymi szybkościami przejść \(\alpha_m\) i \(\beta_m\). Stąd możemy wnioskować o dynamice przejść opisanych przez równanie kinetyczne typu:

\[\frac{dm}{dt} = \alpha_m (1- m) - \beta_m m\]

gdzie \(m\) można interpretować jako prawdopodobieństwo otwarcia danej bramki. Z kolei \(1-m\) to prawdopodobieństwo tego, że bramka jest zamknięta. Takie równania można napisać dla każdej bramki w kanałach. Aby uzgodnić teorię z danymi doświadczalnymi trzeba założyć że:

1. Kanał sodowy składa się z trzech bramek typu \("m"\) i jednej bramki typu \("h"\), które są od siebie niezależne. Stąd przewodność jonów sodu jest proporcjonalna do iloczynu \(m m m h\):

\[G_{Na} = g_{Na} m^3 h\]

gdzie \(g_{Na}\) jest maksymalną wartościa przewodności jonów sodowych.

2. Kanał potasowy składa się z czterech bramek typu \("n"\). Stąd przewodność jonów potasu jest proporcjonalna do iloczynu \(n n n n\):

\[G_{K} = g_{K} n^4\]

gdzie \(g_{K}\) jest maksymalną wartościa przewodności jonów potasowych.

Dla każdej z bramek otrzymujemy równania kinetyczne podobne to tego powyżej:

\[\frac{dh}{dt} = \alpha_h (1- h) - \beta_h h\]

\[\frac{dn}{dt} = \alpha_n (1- n) - \beta_n n\]

Niestety, to nie koniec modelowania. Okazuje się, że wszystkie szybkości przejść są funkcjami napięcia \(V\), czyli:

\[\alpha_m = \alpha_m(V) , \quad \alpha_h = \alpha_m(V) , \quad \alpha_n = \alpha_m(V), \quad \beta_m = \beta_m(V) , \quad \beta_h = \beta_h(V) , \quad \beta_n = \beta_n(V)\]

W oryginalnej pracy Hodgkina-Huxleya (J. Physiol. 117 (1952) 500-544) podano wyrażenia dla szybkości przejść. Współczesna wersja jest przeskalowana do postaci:

\[\alpha_m = \frac{0.1 (V+40)} { 1 - \exp\left[ - (V+40)/ 10\right]}\]

\[\beta_m = 4 \exp\left[ - (V + 65)/18\right]\]

\[\alpha_h = 0.07 \exp\left[ - (V +65)/20\right]\]

\[\beta_h = \frac{1}{1 + \exp\left[ - (V+35)/10\right]}\]

\[\alpha_n = \frac{0.01 (V+ 55)}{1 - \exp\left[ - (V+ 55)/10\right]}\]

\[\beta_n = 0.125 \exp\left[ - (V + 65)/80\right]\]

Uwaga: skalowanie w nowej wersji polega na odjęciu w potencjałach liczby 65, a następnie zmiany znaku V na -V (np. V + 25 \(\to\) - (V+40)).

Dla większego porządku przepiszemy powyższe równania w bardziej zwartej postaci:

\[C \frac{dV}{dt} = I - g_{Na} m^3 h ( V - E_{Na}) - g_{K} n^4 ( V - E_{K}) - G_{L} ( V - E_{L})\]

\[\frac{dm}{dt} = \alpha_m (1- m) - \beta_m m\]

\[\frac{dh}{dt} = \alpha_h (1- h) - \beta_h h\]

\[\frac{dn}{dt} = \alpha_n (1- n) - \beta_n n\]

To zamyka teorię Hodgkina-Huxleya. Otrzymujemy układ 4 równań różniczkowych pierwszego rzędu. Wszystkie pomocnicze funkcje są określone. Pozostaje jeszcze zestaw parametrów i warunki początkowe. Jest to zawarte w pracy Hodgkina-Huxleya. Poniżej podajemy wszystkie te wartości. Potencjały są w jednostkach \(mV\), czas w \(msec\), pojemność w \(\mu F/cm^2\), prądy w \(\mu A/cm^2\), przewodności w \(mS/cm^2\) (litera \(S\) oznacza simens i jest odwrotnością oma).

Typowy zestaw parametrów

\[C = 1, \quad \quad g_{Na} = 120, \quad \quad E_{Na} = 50, \quad \quad g_{K} = 36, \quad \quad E_{K} = -77, \quad \quad G_{L} = 0.03, \quad \quad E_{L} = 54.4\]

\[t_0 = -7.0 \quad \quad V(0) = -65.054389 \quad \quad m(0) = 0.052564 \quad \quad h(0) = 0.591267 \quad \quad n(0) = 0.317337\]

Aby zaobserwować potencjał czynnościowy należy przyłożyć krótko trwający prąd (e.g. \(I=8 \mu A/cm^2\) przez okres czasu 2ms) .