Procesy Nieliniowe w Biologii

Podręcznik dla studentów III roku biofizyki

Jerzy Łuczka, Marcin Kostur

Modele opisujące rzeczywiste procesy biologiczne z reguły nie dostarczają badaczom w prezencie swoich rozwiązań. Nieliniowość prawie w każdym przypadku prowadzi do istotnych trudności i metody analityczne dają wynik tylko dla szczególnych przypadków. Często jedynym narzędziem umożliwiającym poznanie calego zjawiska jest podejście numeryczne.

Ten podręcznik w odróżnieniu od klasycznych pozycji, proponuje podejście do zagadnień modelowania z efektywnym zastosowaniem metod komputerowych jako jednego z podstawowych narzędzi. Wszędzie tam, gdzie jest to możliwe, umiejętnie zaprogramowany komputer, będzie wykonywał żmudną pracę i pomagał w zrozumieniu zjawiska. Poza metodami numerycznymi, komputer zostanie intensywnie wykorzystywany do wizualizacji jak i zostaną użyte metody algebry komputerowej do przekształcania wyrażeń analitycznych.

Tak szerokie spektrum metod komputerowych wymaga specjalnych narzędzi. Dynamiczny język programowania Python umożliwia integracje wszystkich wykorzystywanych narzędzi w jednym miejscu. Wykorzystując pakiet Sage, będziemy mieli do dyspozycji zarówno intuicyjne narzędzia do wizualizacji, potęgę bibliotek numerycznych jak i algebrę komputerową. Ponadto wszytkie te narzędzia są dostępne przez przeglądarkę internetową co eliminuję potrzebę instalacji oprogramowania i można przystąpić do badań

• Dynamika populacyjna: ciągłe modele jednowymiarowe
  • Model Malthusa
  • Model Verhulsta
  • Uogólnienia modelu Verhulsta
• Modele oddziałujących populacji: ofiara - drapieżca
  • Model Lotki-Volterry
  • Bardziej realistyczny: Model Maya
• Kinetyka reakcji chemicznych
  • Reakcje autokatalityczne
  • Reakcje enzymatyczne
  • Analiza teoretyczna a» la Michaelis -Menten
• Równania reakcji-dyfuzji
• Model Malthusa z migracją: Równanie Skellama
• Model Verhulsta z migracją: Równanie Fishera-Kołmogorowa
  • Analiza równania Fishera-Kołmogorowa
  • Analiza numeryczna równania Fishera-Kołmogorowa:
• Modele epidemii
  • Model Kermacka-McKendricka
  • Geograficzne rozprzestrzenianie się epidemii
  • Relistyczne modelowanie rozprzestrzeniania się epidemii
• Transmisja impulsów nerwowych: Model Hodgkinga-Huxleya
  • Wstęp: Podstawowe informacje
  • Model propagacji impulsu
  • Typowy zestaw parametrów
• Numeryczna analiza rozwiązań układu Hodgkina-Huxley’a
• Reakcje Biełusowa-Żabotyńskiego
  • Wstęp: opis reakcji
  • Równania kinetyczne: oregonator
• Własności „oregonatora”
  • Stany stacjonarne
  • Układ zredukowany \(\delta =0\)
  • Porównanie rozwiązań pełnego „Oregonatora” i układu zredukowanego
  • Demostracja użycia CAS do selektywnego uproszczenia wzorów
  • Diagram bifurkacyjny układu zredukowanego \(x^*(q)\)
  • Rozwiązania spiralne w układzie reakcji z dyfuzją (Bielousow-Zabotyński)