11. Metody wyznaczania ceny opcji

11.1. Jak wyznaczyć cenę opcji?

Wyznaczenie ceny opcji polega na tym by określić jej wartość godziwą w dowolnej chwili czasu. Wartość zależy od ceny aktywa w przyszłości a ta z kolei zmienia się w losowy sposób. Niestety, nie ma sposobu by znać tę wartość z wyprzedzeniem.

Dlatego aby wyznaczyć cenę opcji posługujemy się modelami teoretycznymi. Istnieje wiele modeli stosowanych do tego celu. Wszystkie modele zakładają, że proces ewolucji ceny aktywa jest jest pewnym procesem losowym. Ponadto zakładamy, że mamy do czynienia z rynkiem wolnym od arbitrażu na którym można bez ograniczeń i prowizji handlowac dowolną ilością aktywów.

Najprostszym modelem jest dwumianowy model wyceny opcji. (Cox, Ross, Rubinstein, „Option pricing: Simplified Approach”, Journal of Financial Economics- September 1979). Ten model wycenia europejską opcję call na akcje spółki nie wypłacającej dywidendę.

W modelu dwumianowym czas pozostały do wygaśnięcia opcji dzieli się na dyskretne przedziały. Po każdy okresie czasu cena aktywa \(P\) zmienia się przyjmując jeden z dwu możliwych stanów. Może wzrosnąć do wartości Pu (z prawdopodobieństwem p) lub zmaleć do wartości \(P_d\) (z prawdopodobieństwem \(1-p\)), gdzie \(u > 1\), \(d < 1\). Mając zbiór cen aktywa (np. akcji) w postaci drzewka, można wycenić opcję przeprowadzając rachunek wstecz, począwszy od daty wygaśnięcia. Obliczenia wykonuje się w kierunku początku drzewa od chwili \(T\) do \(T-1\), dyskontując w tym przedziale czasowym wartość portfela bezpiecznego składającego się z aktywa i opcji, po stopie procentowej wolnej od ryzyka. Procedurę powtarza się aż do chwili wystawienia opcji. Modele te są opisane w szczególach w rozdziale o opcjach binarnych Dodatek: Komputerowa analiza drzew binarnych.

11.2. Model minimalny - rynek dwustanowy jednookresowy

Rozważmy najprostszy rynek uwzględniający nieprzewidywalną zmienność. Wyobraźmy sobie, że mamy pewne aktywo \(S\), które w chwili początkowej \(t=0\) posiada wartość \(S(t=0)=S_0\). Po czasie \(T\) dopuszczamy jeden z dwóch możliwych scenariuszy: aktywo drożeje do wartości \(S_{up}\) albo tanieje do wartości \(S_{down}\). W tym momencie prawdopodobieństwa każdego ze scenariuszy są niewiadomą. Rynek jest jednookresowy, co oznacza, że rozważamy tylko dwie chwile czasu: początkową: \(t=0\) i przyszłą: \(t=T\).

Zakładamy, że na rynku istnieje możliwość ulokowania gotówki w depozyt bankowy ze stopą procentową \(r\). Zakładamy, że taka operacja jest pozbawiona jakiegokolwiek ryzyka. Innymi słowy po czasie \(T\) depozyt bankowy gwarantuje nam, że nasz kapitał będzie wynosił \(S_0 e^{rT}\).

Kolejnym elementem stosowanym przy wycenie instrumentów, co do których przyszłości nie mamy pewności, jest pojęcie rynku wolnego od arbitrażu. Arbitraż oznacza, że startując z pewnego kapitału możemy zarobić - w sensie wartości średniej, kupując lub sprzedająć dostępne instrumenty. Zarobek oznacza oczywiście, że po operacji będziemy mieli więcej środków niż dał by nam depozyt bankowy. Oczywiście musimy wziąć pod uwagę wartości średnie, jeśli występują losowo zmieniające się aktywa.

Okazuje się, że jeśli przyjmiemy założenie rynku wolnego od arbitrażu, to przy ustalonych stanach aktywa \(S_{up}\) i \(S_{down}\), prawdopodobieństwo tego, że aktywo podrożeje \(p\) musi spełniać:

(1)\[ p S_{up} + (1-p) S_{down} = S_0 e^{rT}\]

Dlaczego? Jeśli prawdopodobieństwo to było by większe, wtedy moglibyśmy kupić aktywo i w sensie wartości średniej otrzymalibyśmy więcej niż lokata bankowa. Arbitraż byłby możliwy. W przeciwnym przypadku posiadając aktywo moglibyśmy je sprzedać i ulokować środki na depozycie. Po okresie \(T\) za wartość depozytu moglibyśmy nabyć więcej jednostek aktywa niż mieliśmy na początku. Znowu zyskaliśmy w sensie wartości średniej.

Równanie (1) jest podstawą konstrukcji wszystkich metod wyceny instrumentów finansowych. Korzystając z niego możemy się przekonać jaka jest wartość instrumentu w chwili początkowej czyli wycenić dany instrument.

Jeśli znamy, albo założymy, wartości cen po czasie \(T\), to równanie (1) jest równaniem na prawdopodobieństwo \(p\). Możemy je wyliczyć. Wtedy mając wszystkie dane na temat drzewa kombinacji, jesteśmy w stanie analizować proces ewolucji cen różnych instrumentów na takim drzewie.

11.3. Wycena opcji na drzewie binarnym

Ważne

Do analizy zachowania się ceny na drzewie będziemy korzystać z kilku funkcji pomocniczych. Dlatego należy wczytać poniższą komórkę:

Rozważmy drzewo multiplikatywne i instrument o wartości początkowej \(S_0\). Narysujmy drzewo możliwych scenariuszy po pięciu miesiącach, przyjmując jeden okres modelu jako jeden miesiąc:

Niech roczna stopa procentowa wynosi 10% a cena wykupu opcji \(K=50\). Łatwo się przekonać, że takie drzewo jest wolne od arbitrażu dla miary określonej przez \(p=0.5073\).

Aby wycenic opcje postępujemy w następujący sposób. W ostatnim okresie cena europejskiej opcji kupna (call) zależy tylko od ceny aktualnej aktywa oraz ceny wykupu i jest równa:

Znając te liczby możemy obliczyć cenę opcji w przedostatnim okresie rozliczeniowym. Skorzystamy z tym celu z równania (1), dla ceny nie aktywa podstawowoego ale opcji. Zauważmy, że prawdopodopieństwa \(p\) i \(1-p\) obliczyliśmy z równania (1) dla cen opcji. Mamy więc:

\[S_{i} = e^{-r T}\left( p S^{+}_{i+1} +(1-p) S^{-}_{i+1} \right)\]

Możemy więc napisać następujący algorytm. Zaczynamy od ceny opcji w chwili \(t=T\) - czyli od prawej strony drzewa binarnego, która jest dana przez \(\mathrm{max}(0,S-K)\). Następnie stosując wzrór (1) dla każdego rozgałędzienia z osobna wyliczamy ceny arbitrażowe dla czasu o jeden okres wcześniej. Podstępując dalej w ten sposób możemy otrzymać całe drzewo cen:

Można jeszcze sobie zadać pytanie jaką intepretacje mają poszczególne ceny w okresach pośrednich? Weżmy z powyższego rysunku punkt z ceną \(8.2\). Jest to cena opcji okresie \(3\) w przypadku, gdy cena aktywa w tym momencie wynosi \(56.1\). Tą ostatnią cenę odczytujemy z poprzedniego wykresu drzewa cen instrumentu bazowego.

Powyższy algorytm wycenia opcję nie tylko w okresie początkowym, ale i w każdej chwili pośredniej. Jeżeli opcja jest typy europejskiego to możemy uprościć ten proces. Zauważmy, że w tym przypadku cena zależy tylko od rozkładu cen w chwili \(t=T\). Całe drzewo składa się z niezależnych zmian ceny, o tych samych prawdopodobieństwach \(p\) i \(1-p\) w każdym rozgałęzieniu. Taki proces zmian jest stochastycznym procesem Bernouliego. Dla takiego procesu znamy rozkład końcowy po \(N\) próbach:

(2)\[P(k) = {N\choose k} p^k (1-p)^{N-k}.\]

Cena opcji zależy tylko od tego rozkładu końcowego i możemy ją obliczyć jaka średnią funkcji zmiennej losowej po rozkładzie (2):

(3)\[\langle S \rangle = \sum_{k=1}^{N} \mathrm{max}(0,S(k)-K) P(k)\]

Implementacja tego wzoru w Sage jest bardzo prosta:

Wykonując ostatnią komórkę powinniśmy dostać tą samą liczbę jak w procesie wyceny na całym drzewie.

11.4. Model ciągły

Obok modeli dyskretnych do opisu ewolucji ceny danego aktywa stosuje się modele ciągłe. Można by zadać sobie pytanie do czego jest potrzebne takie podejscie, skoro czas w praktyce jest naturalnie podzielony na okresy związane z notowaniami np. dziennymy czy miesięcznymi?

Jedną z głównych zalet jest możliwość uzyskania, przynajmniej w najprostszych przypadkach, analitycznych wyników. Umożliwiają one np. przeprowadzanie analizy wrażliwości, która była trudna do przeprowadzenia tylko na podstawie symulacji.

Modele z czasem ciągłym można też rozwiązywać numerycznie stosując dyskretyzację czasu z pewnym skończonym krokiem. Krok ten decyduje o dokładności rozwiązania numerycznego, im miejszy krok tym większa dokładność. Z drugiej strony powoduje to zwiększenie liczby obliczeń, która w tym przypadku rośnie liniowo z ilością kroków. Jeśli mamy model ciągły to mamy pełną kontrolę nad wielkością kroku i ilością obliczeń i możemy zoptymalizować procedurę numryczną.

Klasycznym modelem stosowanym do opisu ewolucji ceny aktywów, jest tzw. geometryczny ruch Browna:. Dany jest on przez równanie Langevina:

(4)\[ dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) d W(t),\]

gdzie \(S\) jest procesem stochastycznym - ceną aktywa. Parametry \(\mu\) oraz \(\sigma\) mają interpretację stopy wzrostu i wariancji danego aktywa, odpowiednio. Proces taki jest łatwy do zasymulowania numerycznego.

Poeksperymentuj z komputerem

Poniższa komórka zawiera kod programu symulującego proces geometrycznego ruchu Browna. W tablicy numpy zapisujemy historię M trajektorii składającą się z N punktów czasu. Innymi słowy S[3,5] - szóstym krokiem czwartej trajektorii (indeksy zaczynają sie od zera).

Poeksperymentujmy:

• Wykonaj kilka razy komórkę. Za każdym wykonaniem generator liczb losowych np.random.randn zwróci inną próbkę liczb gaussowskich i otrzymamy inne scenariusze symulowanej historii ceny.

• Jak wpływa wartość parametru \(r\) oraz \(\sigma\) na wygląd trajektorii?

• Zmień liczbę trajektorii na dużo większą. Jak zmienia się czas obliczeń?

• Dopisz linijkę obliczającą średnią cenę na końcu symulacji (w czasie \(t=T\)) np.average(S[:,-1]).

• Wykonaj symulacje kilka razy - zobacz jak zmienia się średnia dla \(M=10,100,1000,10000\)? Jak wpływa ilość trajektorii na wartość średnią? Można zautomatyzować ten proces uruchamiając część kodu w dodatkowej pętli.

• Wykonaj histogram cen końcowych i porównaj z rozkładem \(P(S,t=T)\). Można skorzystać z rozdziału geometryczny ruch Browna w którym znajduje się zarówno postać wzoru końcowego jak i algorytm obliczający histogram.

Opcję europejską możemy wycenić korzystając z symulacji procesu losowego. W tym celu generujemy \(M\) trajektorii ceny instrumentu podstawowego i obliczamy średnią z funkcji wyceny opcji w chwili zapadalności. Używając powyższego schematu do symulacji dynamiki instrumentu podstawowego jako geometrycznego ruchu Browna, wystarczy wykonać operację uśredniania, która w przedstawia się następująco:

np.exp(-r*T)*np.mean( np.maximum(S[:,N-1]-K,0) )

Pełna procedura wyceny metodą Monte-Carlo wygląda następująco:

Kolejnym elementem analizy jest określenie związku między modelami ciągłym a drzewami dyskretnymi.

11.5. Związek pomiędzy modelem ciągłym i binarnym

Rozważmy model dwustanowy - jednookresowy. Niech cenę aktywa określa reguła multiplikatywna.

\[\begin{split}S_{1} = \left\{ \begin{array}{l l} S_0 u & \quad \text{z prawdopodobieństwem} \; p\\ S_0 d & \quad \text{z prawdopodobieństwem} \; 1-p \end{array} \right.\end{split}\]

Mamy więc trzy liczby: \(p,u,d\), które określają ten model. Chcemy zastosować go jako przybliżenie pewnego ciągłego procesu ewolucji ceny, który jest scharakteryzowany przez dwa parametry:

• \(r t\) - wolna od ryzyka stopa procentowa

• \(\sigma^2 t=\log(\frac{S_1}{S_0})\) - średniokwadratowe odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwrotu (w modelu ciągłym).

Dla procesu ciągłego opisywanego przez geometryczny proces Wienera:

\[dS = rSdt+\sigma S dW,\]

prawdopodobieństwo ceny aktywa w czasie \(t\) przy założeniu, że cena w czasie \(S(t=0)=S_0\) jest dane rozkładem lognormalnym:

(5)\[P(S,t|S_0,0)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 t S^2}} e^{-\displaystyle\frac{(\log(\frac{S}{S_0})-(r-\frac{1}{2}\sigma^2)t)^2}{2\sigma^2 t}}\]

Wykorzystując wzory na średnią i wariancję (np. z wikipedii) i porównując z postacią rozkładu (5) otrzymujemy wzory na wartość oczekiwaną i wariancję procesu ciągłego:

(6)\[\begin{split}E(S) = S_0 e^{r t} \\ Var(S)= S_0^{2} {\left(e^{\sigma^{2} t} - 1\right)} e^{2 \, r t}\end{split}\]

Chcemy by jeden krok procesu binarnego odtwarzał przynajmniej dwa pierwsze momenty procesu ciągłego: średnią i wariancję. Tak więc proces dyskretny będzie musiał spełnić dwa równania:

(7)\[\begin{split}E(S) = p S_0 u+(1-p) S_0 d \\ Var(S)= p (S_0 u)^2+(1-p) (S_0 d)^2 - E(S)\end{split}\]

gdzie podstawiamy wartości średniej i wariancji rozkładu lognormalnego korzystając z (6).

Mamy więc dwa warunki i trzy zmienne do ustalenia, co powoduje, że potencjalnie może być nieskończenie wiele rozwiązań. Rozważmy pierwszy przypadek w którym przyjmiemy:

(8)\[d = \frac{1}{u}.\]

Taki wariant drzewa binarnego jest znany jako model Coxa, Rossa i Rubinsteina (CRR). Rozwiązując układ równań (8), w przybliżenie małego czasu \(t\), otrzymujemy wzory wiążące model ciągły z drzewem binarnym:

(9)\[\begin{split}p &= \frac{e^{rt}-d}{u-d} \\ u &= e^{\sigma \sqrt{t}} \\ d &= e^{-\sigma \sqrt{t}}.\end{split}\]

Wyprowadzenie tych wzorów można łatwo otrzymać na przykład stosując system algebry komputerowej. I tak, zdefiniujmy najpierw zmienne i wzory na średnią i wariancję rozkładu lognormalnego oraz zdefiniujmym układ (7):

Rozwiążmy teraz pierwsze równanie ze względu na \(p\)

a następnie podstawmy wynik do drugiego równania i skorzystajmy z założenia (8):

Ponieważ interesuje nas granica małych czasów to możemy rozwinąć ten nieco długi wzór w szereg Taylora w punktcie \(t=0\) i ograniczyć się do wyrazów pierwszego rzędu w czasie. Zauważmy, że to rozwinięcie jest identyczne z rozwinięciem drugiego równania ze wzorów (9), co kończy nasze wyprowadzenie:

Możemy też pokusić się o rozwiązanie układu równań w innej parametryzacji, w której mamy:

(10)\[\begin{split}p &= \frac{1}{2} \\ u &= e^{\sigma \sqrt{t}+(r-\frac{\sigma^2}{2})*t)}\\ d &= e^{-\sigma \sqrt{t}+(r-\frac{\sigma^2}{2})*t)}.\end{split}\]

Taki przypadek jest znany jako parametryzacja Jarrowa-Rudda. Sprawdźmy, czy rzeczywiście to zachodzi. W równaniach podstawmy więc od razu \(p = \frac{1}{2}\) i porównajmy rozwinięcia w szereg wyników oraz rozwinięcia równań (10):

Ważną uwagą jest to, że model drzewa binarnego i model ciągły jest równoważny tylko w granicy \(t\to 0.\) Oznacza to, że wyceniając pewnien instrument jednookresowym modelem dyskretnym otrzymamy spore różnice w stosunku do modelu ciągłego, jeśli interesująca nas skala czasowa będzie duża.

Sytuacja jednak się zmienia jeśli zastosujemy model wielookresowy. Wtedy nasz czas możemy podzielić na wiele odcinków a liczba tych podziałów będzie zależała od tego jaką dokładność chcemy osiągnąć. Wycena za pomocą modelu wielokresowego będzie dążyła do modelu ciągłego w granicy \(n\to \infty.\)

Przykład - wyceny opcji z danymi z rynku ciągłego.

11.6. Wzory Blacka Scholesa dla europejskiech opcji Call i Put

W tym rozdziale przedstawione zostaną własności metody opartej o ciagły proces losowy. Olbrzymią zaletą jest istnienie prostych analitycznych wzorów na cenę opcji Europejskich, co pozwala na łatwą ich analizę i poznanie własności.

Model dwumianowy zakładał stacjonarny dwumianowy proces stochastyczny dla ruchu ceny aktywa (akcji) zachodzący w dyskretnych przedziałach czasowych. Jeśli przejdziemy do granicy skracając dyskretne okresy czasowe to ten stochastyczny proces stanie procesem dyfuzji (proces Ito) zwanym geometrycznym ruchem Browna. Podobnie jak w poprzednim modelu dwumianowym konstruowany jest portfel wolny od ryzyka składający się z aktywa i wystawionej opcji call. Taki portfel generuje bezpieczna stopę zwrotu. Struktura zabezpieczonego portfela posiada formę zbliżoną do równania dyfuzji ciepła w fizyce.

Wzór Blacka Scholesa na wartość opcji nie wypłacającej dywidendy przyjmuje postać:

Opcja Call

\[C(S_0,K,r,T,\sigma,r) = S_0 F(d_1) - K e^{-rT} F(d_2)\]

a opcja Put

\[P(S_0,K,r,T,\sigma,r) = K e^{-rT} F(-d_2) - S_0 F(-d_1)\]

gdzie symbole \(d_1,d_2\) oznaczają:

\[d_1 = \frac{\ln (S_0/K) + (r+\frac{1}{2} \sigma ^2)T}{\sigma \sqrt{T}}\]

a

\[d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\]

Funkcja \(F(x)\) jest dystrybuantą rozkładu normalnego o średniej zero i jednostkowej variancji. Możemy więc wyrazić ją przez funkcja błędu Gaussa:

\[F(x) = \frac{1}{2} \, \text{erf}\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{2} x\right) + \frac{1}{2}\]

Powyższe wzory możemy wprowadzić do systemu Sage i zbadać ich własności:

Poeksperymentuj z komputerem

Zbadaj własności wzorów na wycenę opcji Call. Zauważmy, że poniższy wykres jest wykresem ceny opcji a nie wykresem zysk/strata. Linia niebieska to cena kupna opcji a czerwona to cena jej wykonania.

• Ustaw \(\sigma,r,T\) na zero. Jak można zinterpetować taki profil ceny?

• Zwiększ \(\sigma\) - co się dzieje z ceną? Jak zmienia się jej wartość czasowa?

• Zostawiąjąc niezmienne (ale dodatnie \(\sigma\)) zwiększ stopę procentową. Pojawia się dodatkowa linia będąca asymtotą wzoru Blacka-Scholesa. Co to oznacza?

11.6.1. Wycena ze wzorów Blacka-Scholesa a wycena Monte-Carlo

W modelu Blacka-Scholesa zakłada się, że instrument podstawowy ( zmiana jego ceny) zachowuję się jak geometryczny ruch Browna. Można więc przypuszczać, że wycena opcji metodą Monte-Carlo, stosując model ciągły powinna odtworzyć liczby pochodzące ze wzorów Blacka-Scholesa.

11.7. Porównanie wyceny modelem binarnym i modelem wyceny Blacka Scholes’a

Załóżmy, że wyceniamy opcję europejską. Można zadać sobie pytanie o ile będą różniły się wyceny według modelu ciągłego i binarnego z \(N\) okresami. W tym celu definiujemy sobie funkcje wyceniające opcje modelem binarnym Bin_Call. Można narysować wykres ceny opcji od ilości pokoleń drzewa. Cena wynikającą ze wzoru Blacka-Scholesa będzie zaznaczoną przerywaną poziomą linią.

Poeksperymentuj z komputerem

Poniższy kod zawiera zaimlementowaną funkcję wyceny opcji europejskie kupna oraz rysuje wykres jej wyceny w zależności od ilości okresów.

• Jaki jest błąd względny dla małej liczby okresów: \(N=1,2,3\)?

• Zaimplementuj podobne porównanie dla opcji sprzedaży.

• Czy dla dużych \(N\) cena opcji zależy od metody jej wyceniania?

11.8. Analiza wrażliwości

Analiza wrażliwości określa jak czuła jest cena opcji na zmianę

wartości wielkości rynkowych.

Wiemy, że na cenę opcji w chwili \(t=0\) wpływają następujące wielkości:

• cena aktywa podstawowego: \(S\) (w chwili \(t=0\)),

• cena wykonania: \(K\),

• czas do wygaśnięcia: \(T\),

• stopa procentowa wolna od ryzyka: \(r\),

• zmienność ceny aktywa (volatility) \(\sigma\)

Powstaje pytanie jak cena opcji jest czuła na zmiany tych parametrów ?

Aby odpowiedzieć na to pytanie możemy posłużyć się, może nie eleganckim ale usprawiedliwionym i skutecznym do tego celu, rozwinięciem tej funkcji w szereg Taylora i uwzględnić w nim tylko pierwsze pochodne cząstkowe (z wyjątkowo drugą pochodną względem ceny opcji względem ceny aktywa).

W ten sposób określoną zmianę ceny przybliżamy otrzymanym wzorem.

Pochodne cząstkowe ceny opcji wchodzące w skład tego przybliżenia mają znaczenie praktyczne będąc używane i oznaczane swymi nazwami.

Oznaczmy symbolem \(V\) cenę naszej opcji. W przypadku europejskiej opcji Put lub Call będziemy stosować symbole od pierwszych liter, odpowiednio: \(P\) \(C\). Tak więc dla dowolnej opcji zawsze możemy zapisać:

\[\Delta V \simeq \frac{\partial V}{\partial T} \Delta T + \frac{\partial V}{\partial S} \Delta S + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2 V}{\partial S^2}(\Delta S)^2 + \frac{\partial V}{\partial \sigma} \Delta \sigma + \frac{\partial V}{\partial r} \Delta r .\]

Współczynniki w powyższym wzorze można łatwo obliczyć, jeśli dana jest formuła analityczna na cenę opcji. Najczęsciej spotykanym przypadkiem są wzory Blacka-Scholesa dla europejskich opcji kupna i sprzedaży.

Dla dociekliwych

Spróbuj obliczyć poniższe współczynniki dla modelu Cox’a, Ross’a, Rubinsteina (CRR). Czy można je policzyć jeśli jedyną metodą wyceny jest metoda Monte Carlo?

11.8.1. Delta opcji

Zmiana ceny opcji przy zmianie ceny aktywa podstawowego nosi nazwę współczynnika delta.

\[\Delta = \frac{\partial V}{ \partial S}\]

dla europejskiej opcji Call wycenionej według modelu Blacka-Scholesa (bez dywidendy) wynosi ona:

\[\Delta_{Call} = N(d_1)\]

a dla opcji Put

\[\Delta_{Put} = N(d_1) - 1\]

Powyższe wzory możemy otrzymać przez różniczkowanie wzorów Blacka-Scholesa ze względu na \(S_0\). Sprawdźmy z pomocą systemu algebry komputerowej czy, rzeczywiście są spełnione.

Po pierwsze wczytajmy sobie wzory Blacka-Scholesa:

Widać, że zachodzi własność:

\[\Delta_{call} - \Delta_{put} = 1,\]

Delta wskazuje na ilość akcji potrzebnych do otworzenia zwrotu z opcji.

Np., \(\Delta_{call} = 0.80\) znaczy ze działa jak 0.80 akcji. Jeśli cena akcji wzrośnie o 1, cena opcji call wzrośnie o 0.80. cecha ta pozwala na budowanie strategii zabezpieczających. Ale o zastosowania analizy wrażliwości w strategii zabezpieczania przed ryzykiem można znaleźć w Hedging za pomoca opcji.

Narysujmy jak zależy dla pewnej opcji Call - Delta od ceny instrumentu bazowego:

11.8.2. Współczynnik gamma

Gamma drugą pochodną ceny opcji względem ceny akcji. Gamma jest

pierwsza pochodną delta w stosunku do ceny aktywa. Gamma jest także nazywana krzywizną.

\[ \begin{align}\begin{aligned}\Gamma_c = \frac{\partial ^2 C}{\partial S^2} = \frac{\Delta_c}{\partial S}\\\Gamma_p = \frac{\partial ^2 P}{\partial S^2} = \frac{\Delta_p}{\partial S}\end{aligned}\end{align} \]

Współczynnik gamma jest zatem miarą niestabilności współczynnika delta.

Interpretacja

Jeżeli w wyniku zmiany kursu instrumentu bazowego współczynnik delta zmieni się z 0.5 do 0.52 to wówczas zmiana delty o 0.02 określać będzie wartość współczynnika gamma.

Przykład.

Niech aktualna wartość instrumentu bazowego wynosi =75 jednostek pieniężnych. Aktualna wartość opcji = 0.35. Delta opcji = 0.16 a gamma opcji = 0.05. Jaka jest wartość opcji jeżeli kurs instrumentu bazowego wzrośnie do 80?

A wiec zmiana ceny instrumentu bazowego = 5 a zmiana ceny wynikająca ze wsp. delta = 5 x 0.16 = 0.80. Wzrost wartości instrumentu bazowego o 5 powoduje wzrost wartości delty a zatem należy wyznaczyć dodatkową zmianę wartości opcji wynikającą z gamma. Zmiana ceny wynikająca z gamma = 0.5 x 0.05 x 52 = 0.62.

Nowa wartość opcji to stara wartość + zmiana z delty + zmiany gamma czyli: 0.35 + 0.80 + 0.62 = 1.77

11.8.3. Współczynnik Theta

Kolejną pochodną cząstkową jest wielkość zwana Theta.

Określa ona jak się zachowa cena opcji call (put) jeśli zmieni się czas do wygaśnięcia, a wszystko inne zostanie stałe?

Theta jest to pierwsza pochodna ceny względem czasu.

Opcje to „psujące się” aktywa, ponieważ wartość ich zanika po pewnym czasie (wygaśnięcie).

Wartość opcji = wartość wewnętrzna + premia czasowa.

Wielkość tę dla opcja call i put wylicza się:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\Theta_c = \frac{\partial C}{\partial t}\\\Theta_p = \frac{\partial P}{\partial t}\end{aligned}\end{align} \]

Theta większa od zera gdyż im więcej jest czasu do wygaśnięcia tym większa wartość opcji.

Ale ponieważ czas do wygaśnięcia może tylko maleć theta jest rozpatrywana jako wartość ujemna. Biorąc pod uwagę możliwość zajmowanej pozycji w opcjach należy pamiętać, że:

• Upływ czasu szkodzi posiadaczowi opcji.

• Upływ czasu działa na korzyść temu co opcje wystawił.

Ze wzoru Blacka Scholes można wyliczyć wartość:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\Theta_c = - \frac{S \sigma e^{-.5(d_1 ^2)}}{2\sqrt{2\pi t}} -rKe^{-rt}N(d_2)\\\Theta_p = \frac{S \sigma e^{-.5(d_1 ^2)}}{2\sqrt{2 \pi t}} +rKe^{-rt} N(d_2)\end{aligned}\end{align} \]

Liczenie Theta - interpretacja

Równania określają theta na rok. Np. \(\Theta = -5.58\), znaczy, że opcja straci 5.58 w wartości ceny na rok - czyli (0.02 na dzień).

Theta pozycji krótkich jest dodatnia. Theta pozycji długich jest ujemna. Opcje at-the-money mają największe wartości theta.

Tabela poniżej pokazuje znaki pochodnych cząstkowych dla róznych pozycji opcji.

.	Delta	Theta	Gamma
Long call	+	-	+
Long put	-	-	+
Short call	-	+	-
Short put	+	+	-

Znak gamma jest zawsze przeciwny do znaku theta

11.8.4. Czułość względem odchylenia standardowego - Vega

Odpowiada na pytanie, jak się zmieni wartość opcji Call (Put) jeśli zmieni się odchylenie standardowe zwrotu czyli czułość na zmienność (volatility) funkcji?

Vega pierwszą cząstkową pochodną ceny opcji względem zmienności

(volatility) aktywa podstawowego.

\[ \begin{align}\begin{aligned}\text{vega}_c = \frac{\partial C}{\partial \sigma}\\\text{vega}_c = \frac{\partial P}{\partial \sigma}\end{aligned}\end{align} \]

Im wyższa volatility tym większa wartość opcji. Np., opcja o vega 0.30 zyskuje 0.30% wartości na każdy punkt procentowy wzrostu spodziewanej zmienności aktywa. Vega bywa także nazywane kappa, omega, tau, zeta, lub sigma prim. Ze wzoru Blacka Scholesa można przykładowo wyliczyć wartości Vega.

\[\text{vega} = \frac{S\sqrt{t}e^{-0.5(d_1 ^2)}}{\sqrt{2\pi}}\]

Vega pozycji długich jest dodatnia. Vega pozycji krótkich jest ujemna. Wartości opcji są bardzo czułe na zmianę odchylenia standardowego ceny aktywa. Im większe volatility, tym więcej są warte opcje call i put. Opcje at-the-money mają największą wartość Vega. Vega maleje dla opcji in- oraz out-of-the-money. Vega, maleje wraz z upływem czasu do terminu wygaśnięcia.

11.8.5. Rho

Rho pierwsza pochodna ceny opcji względem stopy procentowej wolnej od ryzyka:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\rho _c = Kte^{-rt}N(d_2)\\\rho _p = -Kte^{-rt}N(-d_2)\end{aligned}\end{align} \]

Rho jest najmniej znaczącą z pochodnych. Nawet jeśli opcja ma wyjątkowo długie życie, zmiany stopy procentowej wpływają na premie niewiele.

11.9. Wycena opcji Amerykańskiej modelami binarnym i ciągłym

Nie zawsze wycena opcji jest możliwa do wyliczenia poprzez uśrednianie po rozkładzie brzegowym dla \(t=T\). Przykładem są opcje amerykańskie. Różnią się one od europejskich tym, że prawo do zawarcia transakcji obowiązuje nie tylko w chwili \(t=T\), ale w dowolnej chwili przed nią. Posiadacz tego prawa musi zadecydować kiedy będzie chciał z tego prawa skorzystać.

Procedura wyceny takiej opcji, będzie korzystała z pełnej informacji o historii zmian ceny instrumentu.

Algorytm wyznaczania ceny opcji korzysta z warunku braku arbitrażu. Postępujemy podobnie jak przy wycenie opcji europejskiej na całym drzewie. Jednak w każdym rozwidleniu drzewa, sprawdzamy czy wartość otrzymana z warunku braku arbitrażu (1) nie jest mniejsza od wartości wewnętrzej opcji. Jesli tak jest to wpisujemy właśnie tą wartość wewnętrzą do drzewa, zamiast wartości wynikającej z (1). Poniżej prezentujemy możliwą implementację tego algorytmu:

Widzimy, że wartość opcji amerykańskiej przy podanych parametrach różni się znacznie od opcji europejskiej. Mozna się przypatrzeć na drzewie w których miejscach wartość wewnętrzna będzie większa od wartości arbitrażowej. Zobaczmy:

Poeksperymentuj z komputerem

• W powyższym kodzie pozmieniaj wartość początkową aktywa. Jak zmienia się cena opcji? Jak zmienia się tabela z ostatniej komórki Sage?

• Zaimplementuj wycenę amerykańskiej opcji Call. Porównaj wartość z opcją europejska. Czy zaobserwowałeś coś dziwnego?

• Zaimplementuj wycenę opcji amerykańskiej w oparciu o model ciągły stosując odpowiednie uśrednianie po trajektoriach.